Měrná tuhost a volba substrátu: průhyb a vlastní frekvence disků stejné velikosti v různých materiálech

Při stejné velikosti disku první vlastní frekvence škáluje jako √(E/ρ) a průhyb vlastní vahou splňuje w ≈ 1,2g/(2πf₁)², nezávisle na materiálu. Pomocí přesného řešení prstencové desky článek počítá f₁ a průhyb pro šest substrátů (příklad Ø200 mm, 2 mm), srovnává tloušťku a hmotnost při stejné frekvenci a dává vodítko výběru pro velké průměry.

Jakmile disky rostou a tenčí, zda plocha klesá nebo se chvěje, je stejně důležité jako přesnost čar: reflexní a úzkomezerové snímací hlavy jsou citlivé na axiální polohu plochy, takže průhyb vlastní vahou i vibrace se stávají změnami mezery. Běžný návrh je «přejít na tužší materiál», avšak Youngovy moduly skla, safíru a křemíku se liší o násobky a hustoty také — na kterou veličinu se dívat? Článek vyjasňuje průhyb a vlastní frekvenci modelem prstencové desky. Záleží jen na jedné veličině: měrné tuhosti E/ρ, a průhyb i frekvence jsou dvě vyjádření téhož.

Obrázek 1 – Šest substrátových disků Ø200 mm, tloušťka 2 mm: vlevo boční pohled prvního módu (amplituda zveličená, otáčky škálované f1); vpravo první frekvence a průhyb vlastní vahou při rostoucí měrné tuhosti (příkladové parametry, přesné řešení prstencové desky)

Model: dva vzorce a jedna identita

Disk je upnut na náboji. Považujte jej za tenkou prstencovou desku s vnitřním okrajem (poloměr upnutí a) pevným a vnějším okrajem (poloměr R) volným, tloušťka t. Ohybová tuhost

D = E·t³ / [12(1 − ν²)]

První vlastní frekvence

f₁ = λ² / (2πR²) · √(D / ρt) = λ² / (2πR²·√(12(1 − ν²))) · t · √(E/ρ)

kde λ² je frekvenční součinitel z přesného Besselova řešení: 4,80 při ν = 0,2, a/R = 0,2 a 5,59 při a/R = 0,25. Nejnižší mód je kývavý tvar s 1 uzlovým průměrem, 2 %–6 % pod osově souměrným deštníkovým módem. Při vodorovné ploše jen pod vlastní vahou ρg·t je průhyb vnějšího okraje

w = α·ρg·t·R⁴ / D = 12α(1 − ν²)·g·R⁴·ρ / (E·t²)

α závisí jen na geometrii: asi 0,054 při a/R = 0,2, asi 0,043 při 0,25. Srovnání obou vzorců: f₁ ∝ (t/R²)·√(E/ρ), w ∝ (R⁴/t²)·ρ/E; materiál vstupuje jen přes E/ρ (a korekci 1 − ν² blízkou 1). Spojením:

w ≈ κ·g / (2π·f₁)², κ ≈ 1,2–1,4

κ je dáno geometrií a na materiálu nezávisí. Průhyb vlastní vahou je prostě «g dělené čtvercem úhlové frekvence»: disk při f₁ = 240 Hz klesne asi o 5,4 μm, při 100 Hz asi o 31 μm. Proto neberte průhyb a frekvenci jako dvě metriky — znáte-li f₁, znáte průhyb vlastní vahou (Obrázek 3, vlevo: všechny body leží na jedné přímce).

Numerický příklad: Ø200 mm, tloušťka 2 mm

Předpokládejme vnější průměr 200 mm, poloměr upnutí 20 mm, tloušťku 2 mm, plochu vodorovnou. Materiály berou typické hodnoty (safír řádu osy a, anizotropie asi ±10 %; monokrystalový křemík střed hodnoty 130–169 GPa; alkali-free sklo jako řád velikosti):

Materiál	E (GPa)	ρ (g/cm³)	E/ρ (MJ/kg)	f₁ (Hz)	Vnější průhyb vlastní vahou (μm)
Sodnovápenaté sklo	70	2,50	28,0	239	5,4
Borosilikátové sklo	63	2,23	28,3	239	5,4
Alkali-free sklo	74	2,38	31,1	253	4,8
Tavený křemen	72	2,20	32,7	256	4,8
Monokrystalový křemík	150	2,33	64,4	366	2,3
Safír	345	3,98	86,7	427	1,7

Mezi čtyřmi skly se E/ρ liší jen asi o 20 %, f₁ asi o 7 %; přechod ze sodnovápenatého na tavený křemen téměř nepřidá tuhost. Safír a křemík mají E/ρ 2–3× skla, f₁ stoupne 1,5–1,8× a průhyb klesne asi na 0,3–0,4×.

Škálovací zákony jsou důležitější: zdvojnásobení vnějšího průměru sníží f₁ na 1/4 a znásobí průhyb 16×; zdvojnásobení tloušťky zdvojnásobí f₁ a sníží průhyb na 1/4. Stejný borosilikátový disk Ø200 mm, tloušťka 1 mm má jen asi 120 Hz a asi 22 μm průhybu; při Ø80 mm, 1 mm (poloměr upnutí 10 mm) je f₁ asi 870 Hz a průhyb jen 0,44 μm — malé disky starost nepotřebují.

Návrh na stejnou frekvenci: safír ztenčí, ale neulehčí

Požadujte f₁ ≥ 500 Hz a invertujte tloušťku:

t_min = 2πR²·f₁ / λ² · √(12(1 − ν²)ρ / E)

Při Ø200 mm potřebují borosilikát a sodnovápenaté asi 4,2 mm, tavený křemen asi 3,9 mm, křemík asi 2,7 mm, safír asi 2,3 mm (Obrázek 2). Hmotnost ∝ ρ·t ∝ ρ^1,5/√E; vůči borosilikátu: safír asi 1,00, tavený křemen 0,92, křemík 0,68, sodnovápenaté 1,12. Safír je tenčí, ale hustší, takže při stejné frekvenci není lehčí a rotační setrvačnost se nezlepší; křemík je asi o tři desetiny lehčí, ale v blízké IR 850–950 nm téměř neprůhledný, použitelný jen pro reflexní nebo štěrbinové vzory (viz jiný článek v této knihovně).

Obrázek 2 – Minimální tloušťka versus vnější průměr při pevném požadavku na první frekvenci: t ∝ R²; křivky se podle měrné tuhosti dělí na pásma skla, křemíku a safíru

Za měrnou tuhostí: poloměr upnutí a otáčky

Poloměr upnutí. Zvýšení a/R z 0,2 na 0,4 zvedne λ² z 4,80 na 9,07, téměř zdvojnásobí f₁, sníží α z 0,054 na 0,018 a sníží průhyb asi na třetinu. Zvětšení poloměru lepicího kroužku náboje je levnější než zesílení disku nebo změna materiálu — pokud snímací stopy náboj nezakryje.

Otáčky. Odstředivé napětí škáluje jako ρω²R², nezávisle na E. V aproximaci volného otvoru má borosilikát Ø200 mm při 6000 r/min na okraji otvoru obvodové napětí asi 7 MPa, při 20000 r/min asi 79 MPa (bez montážního a lepícího napětí). Při nízkých až středních otáčkách je tedy mez výběru tuhost a vibrace; teprve při vysokých otáčkách převládnou měrná pevnost a okrajové vady. Také udržujte otáčkovou frekvenci a její nízké harmonické mimo f₁; rotace dále rozštěpí módy uzlového průměru v laboratorní soustavě, což je třeba ověřit modelem rotujícího disku.

Obrázek 3 – Vlevo: body různých materiálů a tlouštěk leží na jedné přímce w–f₁; vpravo: relativní tloušťka a hmotnost při společných 500 Hz

Inženýrské poznámky

Nejprve spočítejte f₁, pak odhadněte průhyb vlastní vahou jako w ≈ 1,2g/(2πf₁)²; kontrola je potřeba jen při vodorovné ploše a toleranci mezery v desítkách mikrometrů.
Kvůli tuhosti mezi skly nepřecházejte: E/ρ se liší jen asi o 20 %. Zvyšte f₁ zesílením (f₁ ∝ t), zmenšením vnějšího průměru (∝ 1/R²) nebo zvětšením poloměru upnutí.
U velkých tenkých skleněných disků f₁ skutečně spočítejte: stejný borosilikát Ø150 mm × 3 mm je asi 640 Hz, Ø200 mm × 2 mm jen asi 240 Hz.
Srovnání při stejné frekvenci musí hledět na hmotnost a setrvačnost, ne jen na tloušťku: tenčí safír neznamená lehčí.
E safíru a křemíku závisí na krystalovém směru; čísla v tabulce jsou řády velikosti — před zmrazením návrhu žádejte od dodavatele orientaci a naměřený modul.
Skutečné f₁ závisí na tuhosti lepicího kroužku a je nižší než ideální upnutí; ověřte na vzorcích poklepem nebo laserovou vibrometrií.

Shrnutí

U disků stejné velikosti první vlastní frekvence škáluje s √(E/ρ) a průhyb vlastní vahou s ρ/E a w ≈ κg/(2πf₁)² spojuje obojí v jeden fakt. Rozdíly měrné tuhosti mezi skly jsou malé, takže volba materiálu málo změní; safír a křemík mohou zvednout f₁ asi 1,5–1,8×, ale safír hmotnost nesníží a křemík omezuje neprůhlednost v blízké IR. Tuhost disků velkého průměru se získá hlavně tloušťkou, vnějším průměrem a poloměrem upnutí.

Překlad čínského originálu (0572). ENC7 – výrobce kódových kotoučů (poptávka) · Odborné články · https://enc7.com