Optická nehomogenita skla: jak šlíry a kolísání indexu lomu ovlivňují fázové snímání

Kolísání indexu lomu Δn ve skle vytváří v procházejícím světle rozdíl optických drah OPD = Δn·t. Při Δn = 10⁻⁵ a tloušťce 1–2 mm jde jen o 10–20 nm, pro amplitudové snímání zanedbatelné; při difrakčním interferenčním snímání procházejí oba svazky různými místy a získají fázový rozdíl, v nejhorším případě asi 1–2″ (příklad). Článek odvozuje požadavek na homogenitu.

„Průhlednost“ a „homogenita“ skla jsou dvě různé věci: sklo, které vůbec neabsorbuje světlo, může mít uvnitř přesto kolísání indexu lomu 10⁻⁵ i více. Příčinou je nerovnoměrné složení při tavení (ve formě šlír), nerovnoměrné teplotní pole při chlazení a pnutí. Tradiční názor zní: „To se týká jen zobrazovací optiky, kódový kotouč to nemusí řešit.“ U neprůsvitných obrazců to v zásadě platí, jakmile však snímání závisí na fázi světla, situace se mění. Článek nejprve spočítá rozdíl optických drah a deformaci vlnoplochy, pak zvlášť posoudí vliv na amplitudové a difrakční interferenční snímání a nakonec z rozpočtu úhlové chyby zpětně odvodí požadavek na homogenitu.

Obrázek 1 – Rovinná vlna po průchodu sklem se šlírami má deformovanou vlnoplochu (zobrazeno 25× zvětšeně): Δn roste z 0 na 1×10⁻⁵ (špička–údolí), pak tloušťka z 1 mm na 2 mm a nakonec Δn na 2×10⁻⁵; vpravo příčné rozložení rozdílu optických drah (tvar šlír je příklad)

Model: rozdíl optických drah a vlnoplocha

Světlo prochází sklem tloušťky t ve směru tloušťky a index lomu se mění s příčnou polohou y jako n(y) = n₀ + Δn(y). Rozdíl optických drah a fáze v každém bodě vlnoplochy jsou

OPD(y) = Δn(y) · t, φ(y) = 2π · OPD(y) / λ

kde Δn je hodnota špička–údolí a λ vlnová délka. Pro Δn = 10⁻⁵ a λ = 850 nm:

t = 1 mm: OPD = 10 nm, asi λ/85, fáze špička–údolí 4,2°;
t = 2 mm: OPD = 20 nm, asi λ/43, fáze špička–údolí 8,5°.

Pro srovnání: λ/4 je 212 nm. Rovnoměrný posun celé vlnoplochy na odečet nemá vliv; působí jen její příčná změna: sklon vlnoplochy dOPD/dy vychyluje paprsky a rozdíl OPD mezi dvěma body způsobuje rozdíl fáze (obrázek 2).

Obrázek 2 – Rozdíl optických drah v závislosti na kolísání indexu lomu Δn a tloušťce; červené body: sklo 1 mm a 2 mm při Δn = 1×10⁻⁵

Amplitudové snímání: výchylka je nepatrná

Šlíry kolísají kosinově s periodou Λ_s a amplitudou Δn/2; maximální úhel výchylky paprsku je pak πΔn·t/Λ_s. Pro Λ_s = 0,1 mm, t = 1 mm a Δn = 10⁻⁵ je výchylka 3,1×10⁻⁴ rad (asi 65″). Je-li obrazec na vstupní ploše a mezera od výstupní plochy skla ke snímací mřížce g = 0,1 mm, posune se obraz o 31 nm, tedy jen o 0,16 % rozteče 20 μm, což při r = 20 mm odpovídá asi 0,3″; při Λ_s = 1 mm jsou to jen 3 nm. Kontrast světlo–tma se nemění, proto je Δn řádu 10⁻⁵ pro amplitudové snímání zanedbatelné.

Difrakční interferenční snímání: oba svazky vidí jiné sklo

Difrakční snímání využívá opětovného skládání svazků ±1. řádu. Pro mřížku s roztečí p je difrakční úhel ve skle sinθ_g = λ/(n·p) a po průchodu tloušťkou t jsou svazky od sebe vzdáleny

s = 2t · tanθ_g

Pro p = 20 μm, n = 1,51 a λ = 0,85 μm je sinθ_g = 0,028; pro t = 1 mm je s = 56 μm, pro t = 2 mm 113 μm. Protože oba svazky procházejí různými místy, fázový rozdíl závisí jen na rozdílu skla v těchto dvou místech:

δφ = (2π/λ) · Δn · t · |sin(πs/Λ_s)|

Nejhorší případ nastává při periodě šlír Λ_s = 2s, kdy δφ = 2πΔn·t/λ (tj. výše uvedená fáze špička–údolí). Fázový rozdíl obou svazků odpovídá posunu mřížky x = δφ·p/(4π), v úhlu x/r. Příklad výpočtu (Δn = 10⁻⁵, p = 20 μm, r = 20 mm, příklad):

Tloušťka	Nejhorší případ (Λ_s = 2s)	Λ_s = 1 mm	Λ_s = 10 mm
1 mm	4,2°, 1,2″	0,75°, 0,21″	0,07°, 0,02″
2 mm	8,5°, 2,4″	2,9°, 0,84″	0,30°, 0,09″

Vliv je největší, když je perioda šlír srovnatelná se vzdáleností svazků; u velmi širokých šlír dopadají oba svazky na stejné místo a chyba rychle mizí. Při otáčení šlíry přebíhají přes optickou dráhu, takže chyba není jednoduchá harmonická, ale kolísá podle rozložení ve skle (obrázek 3 vlevo). Současně kolísání fáze vlnoplochy v rámci světelné stopy snižuje interferenční kontrast: při fázi rms 0,1 rad jen asi o 0,5 %, což je méně podstatné než samotná fázová chyba. Navíc fáze odpovídající hloubce drážky fázové mřížky, 2π(n−1)d/λ, se mění jen s relativní změnou n, Δn/(n−1), asi 2×10⁻⁵, takže na účinnost nultého řádu nemá téměř žádný vliv.

Obrázek 3 – Vlevo: fázový rozdíl obou svazků v závislosti na periodě šlír při Δn = 10⁻⁵ (čárkovaně horní mez pro Λ_s menší než 2s); vpravo: horní mez Δn špička–údolí zpětně odvozená z rozpočtu úhlové chyby (nejhorší případ, p = 20 μm, r = 20 mm)

Jak stanovit požadavek na homogenitu

Z rozpočtu posunu x = e·r (e je dovolená úhlová chyba v radiánech) a nejhoršího případu δφ = 2πΔn·t/λ plyne

Δn_max = 2 · e · r · λ / (p · t)

Pro e = 0,5″, r = 20 mm a p = 20 μm: t = 1 mm vyžaduje Δn ≤ 4,1×10⁻⁶, t = 2 mm 2,1×10⁻⁶; při uvolnění e na 1″ je to 8,2×10⁻⁶, resp. 4,1×10⁻⁶. Mez je úměrná e a r a nepřímo úměrná p a t: čím jemnější rozteč a tenčí sklo, tím volnější požadavek. Homogenita optických materiálů se třídí podle ISO 10110-4; vysoké třídy dosahují řádu 10⁻⁶, běžné plavené sklo tento parametr obvykle nezaručuje.

Praktické zásady

Amplitudové snímání (neprůsvitný obrazec + snímací mřížka) je vůči Δn necitlivé; samostatná specifikace homogenity obvykle není nutná.
U difrakčního interferenčního nebo fázového snímání odvoďte požadavek z Δn_max = 2·e·r·λ/(p·t) a posuzujte tloušťku a rozteč společně.
Nejcitlivější je stav, kdy je vzdálenost svazků s srovnatelná s periodou šlír; jemné šlíry široké 0,1–0,5 mm jsou nebezpečnější než pozvolné změny na velké ploše.
Při výběru materiálu uveďte ve specifikaci třídu homogenity a zkušební metodu (interferometrické měření prošlé vlnoplochy), nepište jen „optická kvalita“.
Co nejtenčí: chyba je úměrná t, snížení z 2 mm na 1 mm uvolní požadavek dvojnásobně.
Je-li obrazec na výstupní ploše, takže světlo nejprve projde sklem a teprve pak se ohne, svazky se ve skle nerozdělí a střihová chyba se výrazně zmenší; to může být podkladem pro volbu konstrukce.

Shrnutí

U skla s Δn = 10⁻⁵ vytvoří tloušťka 1–2 mm jen 10–20 nm rozdílu optických drah, což je pro amplitudové snímání neprůsvitných obrazců zanedbatelné. Při difrakčním interferenčním snímání procházejí oba svazky různými místy; fázový rozdíl je omezen hodnotou 2πΔn·t/λ, s příkladovými parametry v nejhorším případě asi 1–2″, a z toho odvozený požadavek na homogenitu je řádu 10⁻⁶. Zda je třeba homogenitu zvlášť specifikovat, závisí na principu snímání, nikoli na tom, zda sklo vypadá průhledně.

Překlad čínského originálu (0575). ENC7 – výrobce kódových kotoučů (poptávka) · Odborné články · https://enc7.com