Beschleunigte Lebensdauerprüfung: Lebensdauerabschätzung mit dem Arrhenius-Modell

Drehgeber werden für zehn Jahre Lebensdauer spezifiziert, Prüfungen dauern aber nur wenige tausend Stunden. Der Artikel leitet die Beschleunigungsfaktor-Formel aus Reaktionsraten ab, zeigt an LED- und Klebstoffbeispielen, wie stark die Aktivierungsenergie AF beeinflusst, stellt einen simulierten Drei-Temperatur-Versuch mit Konfidenzintervallen der extrapolierten Lebensdauer vor und nennt typische Fälle, in denen das Modell versagt.

Die Lichtleistung der LED in einem Drehgeber nimmt mit der Zeit ab, und der Klebstoff zwischen Teilscheibe und Nabe altert ebenfalls. Sind zehn Jahre Dauerbetrieb (etwa 8,8×10⁴ h) gefordert, ist ein Echtzeitversuch dieser Länge unmöglich. Üblich ist, die Temperatur zu erhöhen, damit die Degradation beschleunigt abläuft, und die Prüfzeit mit einem Modell auf die Einsatzbedingungen zurückzurechnen. Wie groß dieser Umrechnungsfaktor ist – und ob man ihm trauen darf – hängt vom Verständnis des Arrhenius-Modells ab.

Abb. 1 – Steigt die Prüftemperatur von 40 ℃ auf 105 ℃, verschiebt sich die Ausfallzeitverteilung auf der logarithmischen Zeitachse als Ganzes nach links, ohne die Form zu ändern; die Verschiebung ist der Beschleunigungsfaktor AF (Ea = 0,7 eV, angenommen)

Von der Reaktionsrate zum Beschleunigungsfaktor

Viele Degradationsprozesse (Diffusion, Oxidation, chemische Reaktion) gehorchen einer Rate der Form

R = A·exp(−Ea / (k·T))

wobei Ea die Aktivierungsenergie (eV), k = 8,617×10⁻⁵ eV/K die Boltzmann-Konstante, T die thermodynamische Temperatur (K) und A eine temperaturunabhängige Konstante ist.

Schreibt man die Änderung eines Degradationsmaßes D als dD/dt = R(T)·g(D), wobei g die Form der Degradationskurve beschreibt, liefert die Integration bis zum Ausfallkriterium D_f die Beziehung G(D_f) = R·t_f; die Ausfallzeit t_f ist also der Rate umgekehrt proportional. Solange g sich mit der Temperatur nicht ändert, ist das Verhältnis der Ausfallzeiten bei Einsatztemperatur T_u und Stresstemperatur T_s

AF = t_u / t_s = exp[(Ea/k)·(1/T_u − 1/T_s)]

Eine wichtige Folgerung: Die Temperatur staucht die Zeitachse lediglich um einen konstanten Faktor. Auf einer logarithmischen Zeitachse sollen sich Ausfallverteilungen bei unterschiedlichen Temperaturen daher ohne Formänderung verschieben (Abb. 1); bei lognormaler oder Weibull-Beschreibung sollen σ bzw. der Formparameter gleich bleiben. Das ist die erste Prüfung, ob „der Mechanismus unverändert“ ist.

Zahlenbeispiele: LED und Klebstoff

LED, Einsatz 40 ℃, Prüfung 85 ℃, Ea = 0,7 eV (angenommen):

1/T_u − 1/T_s = 1/313,15 − 1/358,15 = 4,012×10⁻⁴ K⁻¹ Ea/k = 0,7 / 8,617×10⁻⁵ = 8123 K AF = exp(8123 × 4,012×10⁻⁴) = exp(3,259) ≈ 26,0

1000 h bei 85 ℃ entsprechen also etwa 2,6×10⁴ h bei 40 ℃.

Die Aktivierungsenergie wirkt enorm (Abb. 2): Beim gleichen Schritt 40→85 ℃ ergeben Ea = 0,3, 0,5, 0,7, 0,9, 1,1 eV die Werte AF = 4,0, 10,3, 26,0, 66,1, 168. Ein Unterschied von 0,2 eV in Ea ändert AF um den Faktor etwa 2,5.

Abb. 2 – Bei Einsatztemperatur 40 ℃: Beschleunigungsfaktor über Prüftemperatur und Aktivierungsenergie; bei 85 ℃ steigt AF von 10 auf 66, wenn Ea von 0,5 auf 0,9 eV geht

Als Temperatur ist zudem die tatsächliche Temperatur der Ausfallstelle zu nehmen. Nimmt man an, eine LED dissipiert 30 mW bei einem Wärmeübergangswiderstand Junction–Umgebung von 300 K/W, liegt die Junction etwa 9 K über der Umgebung. Mit Junction-Temperaturen 49 ℃ und 94 ℃ ergibt sich AF ≈ 22,0; die direkte Verwendung der Umgebungstemperatur überschätzt AF um etwa 18 %.

Klebstoff, Einsatz 60 ℃, Prüfung 105 ℃: Mit Ea = 0,6, 0,8, 1,0 eV (angenommen) ist AF = 12,0, 27,6, 63,1. Eine weitere Erhöhung der Prüftemperatur auf 125 ℃ kann AF auf 30~295 treiben. Liegt die Glasübergangstemperatur Tg dieses Klebstoffs jedoch bei etwa 110 ℃ (angenommen), verlässt der Klebstoff bei 125 ℃ den Glaszustand in den gummielastischen Zustand; Kriechen, Feuchteaufnahme und Reaktionswege können sich ändern, und diese AF-Werte verlieren ihre Bedeutung.

Woher die Aktivierungsenergie kommt

Ea ist ein Parameter eines konkreten Ausfallmechanismus, keine Materialkonstante und keine Bauteilkonstante. Es gibt drei Quellen:

Literatur und Branchendaten zum gleichen Mechanismus; bei gängigen Mechanismen elektronischer Bauteile liegt Ea typischerweise bei einigen Zehnteln bis etwas über einem eV;
Prüfdaten des Bauteil- oder Werkstofflieferanten unter dem gleichen Ausfallkriterium;
ein eigener Mehrtemperaturversuch. Bei zwei Temperaturen gilt Ea = k·ln(t₁/t₂) / (1/T₁ − 1/T₂).

Fehlen Daten, wird oft 0,7 eV als Vorgabe genommen – das ist nur eine Konvention. Eine Überschätzung von Ea überschätzt AF und damit die Lebensdauer; die Aussage tendiert zur unsicheren Seite.

Abb. 3 zeigt einen simulierten Drei-Temperatur-Versuch: wahrer Wert Ea = 0,70 eV, Medianlebensdauer bei 50 ℃ = 10×10⁴ h, lognormal σ = 0,5, je 10 LEDs bei 85, 105 und 125 ℃, Ausfallkriterium Lichtleistung auf 70 %. Selbst wenn die Daten exakt aus dem Modell erzeugt werden, liefert die Anpassung Ea = 0,78 eV (90 %-Intervall 0,67~0,88 eV) und eine extrapolierte Medianlebensdauer bei 50 ℃ von 14,4×10⁴ h mit 90 %-Intervall etwa 8,9×10⁴~23,5×10⁴ h. Je weiter die Extrapolation, desto breiter das Intervall.

Abb. 3 – Arrhenius-Diagramm eines Drei-Temperatur-Versuchs: angepasste Gerade extrapoliert auf 50 ℃, schraffiert das 90 %-Bootstrap-Intervall (simulierte Daten)

Wann das Modell versagt

Mechanismus ändert sich mit der Temperatur: oberhalb der Tg des Klebstoffs oder jenseits der Temperaturbeständigkeit der LED-Vergussmasse treten Ausfälle auf, die unter Einsatzbedingungen nicht vorkommen.
Mehrere Mechanismen koexistieren: bei zwei Mechanismen mit Ea = 0,4 und 1,0 eV verstärkt ein Hochtemperaturversuch vor allem den Mechanismus mit hohem Ea, während bei Einsatztemperatur der Mechanismus mit niedrigem Ea zuerst auftreten kann – der Versuch hat ihn verdeckt.
Andere Beanspruchungen als Temperatur: Feuchte braucht ein Peck-artiges isothermes Feuchtemodell, Temperaturwechsel eine Coffin-Manson-Beziehung, und der LED-Treiberstrom selbst beeinflusst den Lichtstromrückgang.
Zensierte Daten: Versuche enden oft, wenn nur ein Teil der Proben ausgefallen ist; es ist eine zensierfähige Maximum-Likelihood-Methode zu verwenden, nicht der einfache Mittelwert der bereits ausgefallenen Proben.

Technische Hinweise

Jede Temperatur in Kelvin umrechnen und die Temperatur der Ausfallstelle verwenden: Junction-Temperatur bei der LED, gemessene Temperatur bei der Klebstoffschicht; eine Eigenerwärmung von 9 K kann AF bereits um etwa 18 % verfälschen.
Mindestens drei Temperaturen fahren und prüfen, ob der Formparameter der Verteilung über die Temperaturen konsistent ist; Inkonsistenz bedeutet Mechanismuswechsel, Extrapolation ist ungültig.
Die höchste Prüftemperatur mit Reserve unter Materialgrenzen halten: unter Tg beim Klebstoff, unter der zulässigen Junction-Temperatur bei der LED.
Fehlt ein verlässliches Ea, einen niedrigen Wert wählen und die Quelle im Bericht nennen; jede Überschätzung von Ea um 0,2 eV überschätzt die Lebensdauerumrechnung aus einem 85-℃-Versuch um den Faktor etwa 2,5.
Das Ausfallkriterium nach Drehgeberfunktion definieren – etwa Lichtleistung so niedrig, dass die automatische Verstärkung nicht mehr kompensieren kann, oder Signalamplitude unter der Untergrenze – nicht pauschal „70 %“.
Lebensdauer mit Konfidenzintervall und Extrapolationsdistanz berichten, nicht als Einzelwert.

Kurzfassung

Arrhenius-Beschleunigung bedeutet, dass die Temperatur die Zeitachse um einen konstanten Faktor staucht, AF = exp[(Ea/k)·(1/T_u − 1/T_s)]. Die Glaubwürdigkeit hängt fast ausschließlich davon ab, ob Ea einem realen einzelnen Ausfallmechanismus entspricht und ob dieser bei hoher Temperatur unverändert bleibt. Formkonsistenz über Mehrtemperaturversuche und die Angabe von Konfidenzintervallen machen die Aussagen der beschleunigten Prüfung belastbar.

Übersetzung des chinesischen Originalartikels (0193). ENC7 – Hersteller von Encoderscheiben (Anfrage) · Fachartikel · https://enc7.com