Symptom: Signal wird dreieckförmig, Amplitude zu niedrig – zu großer Abstand und Fensterfaltung

Eine 50-%-Teilscheibe gefaltet mit einem 50-%-Abtastfenster gleicher Teilungsperiode ergibt ein Dreiecksignal: Die Oberwellen fallen mit 1/n², die dritte beträgt etwa 11 %, und direkte atan2-Auswertung liefert einen Interpolationsfehler von etwa ±4,1° elektrisch. Dieser Artikel leitet her, wie die beiden Unschärfearten – Halbschatten und Beugung – Dreieckform und Amplitude beeinflussen, gibt Versuche zu ihrer Unterscheidung sowie Kriterien für die Änderung des Fenster-Tastverhältnisses oder des Abstands.

Auf dem Oszilloskop ist Spur A kein Sinus, sondern ein Dreieck mit spitzen Scheiteln, und die Amplitude liegt zudem zwanzig bis dreißig Prozent unter dem Nennwert. Die erste Reaktion ist oft, dass sich beides widerspricht: Ein Dreieck entsteht nur bei kleinem Abstand, Amplitudenverlust nur bei großem. Tatsächlich stammt das Dreieck aus der geometrischen Faltung von Teilscheibe und Abtastfenster, der Amplitudenverlust aus der abstandsbedingten Unschärfe – beides kann gleichzeitig auftreten; bei feiner Teilung und zu großem Abstand kann die dritte Oberwelle durch Selbstabbildung im Nahfeld sogar wieder anwachsen. Der Artikel leitet zuerst die Herkunft des Dreiecks her, analysiert dann die beiden Unschärfearten Halbschatten und Beugung und gibt schließlich Unterscheidungsmethoden und Verbesserungskriterien.

Herkunft des Dreiecks: Faltung von Rechteck und Abtastfenster

Die Transmission der Teilscheibe ist ein Rechteck mit 50 % Tastverhältnis, das Abtastfenster (Abtastgitter oder Detektorelement) hat die Öffnungsbreite w·p. Das vom Detektor empfangene Licht ist die Überlappungsfläche beider, als Funktion der Verschiebung also ihre Faltung. Bei w = 0,5 steigt und fällt die Überlappungsfläche linear zwischen null und der halben Fensterfläche – ein Dreieck. Seine Fourier-Koeffizienten sind das Produkt zweier sinc-Funktionen:

c_n ∝ sinc(n/2) · sinc(n·w)

Bei w = 0,5 betragen die ungeraden Oberwellen relativ zur Grundwelle h_n = 1/n², alle positiv: h3 = 11,1 %, h5 = 4,0 %, h7 = 2,0 %. Bei direkter atan2-Auswertung beträgt der Spitzenwert des Interpolationsfehlers etwa 0,071 rad, also ±4,1° elektrisch, bei 2048 Strichen etwa 7,2″ (zum allgemeinen Zusammenhang zwischen Oberwellen und Fehler siehe den Artikel „Eckiger Kreis“ dieser Reihe).

Eine weitere leicht verwechselte Zahl: Die Grundwelle eines Dreiecks beträgt nur 8/π² ≈ 0,81 seines Scheitelwerts. Bei einem auf dem Oszilloskop mit 1 VSS gemessenen Dreieck „sieht“ der Interpolator nur etwa 0,81 VSS Sinusanteil; eine über den Lissajous-Radius oder die Grundwelle definierte Amplitude fällt daher zwangsläufig niedriger aus.

Zu niedrige Amplitude: zwei abstandsbedingte Unschärfen

Geometrische Unschärfe (Halbschatten). Bei einer Leuchtfläche der Breite s im Abstand L von der Teilscheibe beträgt die Unschärfebreite des Schattens im Abstand g b = s·g/L = g·Δα, Δα ist die Winkelbreite der Beleuchtung in Messrichtung. Ein rechteckiger Unschärfekern multipliziert die n-te Oberwelle mit sinc(n·b/p). Für b < p/2 bleibt das damit gefaltete Dreieck in der Umgebung der Nulldurchgänge geradlinig, die Steigung im Nulldurchgang ändert sich nicht; nur die Spitzen werden zu Parabeln verschliffen, der Spitze-Spitze-Wert sinkt auf 1 − b/p, die Grundwelle auf sinc(b/p) (siehe Abb. 1). Bei b = p/3 ist sinc(3b/p) = 0, die dritte Oberwelle verschwindet genau, die Grundwelle bleibt zu etwa 83 % erhalten.

Beugung. Bei einer 50-%-Teilscheibe wird die n-te Oberwelle mit cos(n²πλg/p²) multipliziert. Die Grundwelle fällt langsam mit cos(πλg/p²), die dritte Oberwelle ändert sich 9-mal schneller: Sie geht bei p²/(18λ) durch null und wechselt das Vorzeichen, bei 2p²/(9λ) ist sie vollständig wiederhergestellt. Dann ist die Grundwelle bereits auf cos(40°) ≈ 0,77 gefallen. Mit anderen Worten: Bei feiner Teilung und zu großem Abstand wird die Signalform wieder dreieckig, während die Amplitude schon deutlich gesunken ist – genau das Symptom im Titel.

Rechenbeispiel (angenommen p = 20 μm, λ = 0,88 μm, spektrale Breite 40 nm, Winkelbreite der Beleuchtung 20 mrad):

Bei g = 100 μm (etwa 2p²/(9λ)) ist die dritte Oberwelle sogar größer als im Kontakt, der Fehler beträgt etwa 7,3°, die Amplitude aber nur noch etwa 76 %. Wird die Winkelbreite der Beleuchtung auf 50 mrad vergrößert, sinkt h3 beim gleichen Abstand auf etwa 4,8 %, der Fehler auf etwa 2,7°, die Grundwelle auf etwa 0,69; die Signalform wird zum „Dreieck mit runden Spitzen“ (siehe Abb. 2).

Bei grober Teilung ist es umgekehrt. Für p = 50 μm und 50 mrad Winkelbreite der Beleuchtung liegt der Beugungsfaktor über einige hundert Mikrometer oberhalb von 0,9, die Unschärfe stammt überwiegend aus dem Halbschatten: Bei g ≈ 333 μm ist b ≈ p/3, die dritte Oberwelle verschwindet, der Fehler beträgt etwa 0,5°, die Grundwelle etwa 0,77. Bei grober Teilung tritt das Dreieck meist nur bei kleinem Abstand auf und rundet sich mit wachsendem Abstand monoton ab.

Unterscheidung: zu großer Abstand oder Halbschatten der Lichtquelle

1. Feiner Abstands-Scan, h3 beobachten. Den Abstand in Schritten von etwa p²/(36λ) (bei p = 20 μm etwa 13 μm) ändern und jeweils eine FFT aufnehmen: Wechselt h3 das Vorzeichen mit einer Periode von etwa 2p²/(9λ), ist es Beugung; nimmt es monoton ab und geht nahe g·Δα ≈ p/3 durch null, ist es Halbschatten.
2. Wellenlänge wechseln. Eine rote LED einsetzen (sonst unverändert): Beugungsmerkmale verschieben sich mit λ, der Halbschatten nicht.
3. Größe der Lichtquelle ändern. Eine schmale Spaltblende vor die LED setzen oder die LED zurücksetzen: Der Halbschatten nimmt entsprechend ab, die Beugung bleibt unbeeinflusst.
4. Details der Signalform ansehen. Spitze-Spitze-Wert sinkt, Steigung im Nulldurchgang unverändert, Spitzen werden zu Bögen: Halbschatten-Typ. Auch die Steigung im Nulldurchgang ändert sich mit dem Abstand, flache und spitze Scheitel wechseln sich ab: Beugungs-Typ.
5. Nullstelle der Amplituden-Abstands-Kurve ansehen. Die erste Nullstelle der Beugung liegt bei p²/(2λ) (bei p = 20 μm etwa 227 μm), die des Halbschattens bei p/Δα (bei 20 mrad etwa 1 mm).

Verbesserungskriterien: Fenster ändern oder Abstand anpassen

• Amplitude ausreichend, Fehler groß (Dreieck bei kleinem Abstand): Tastverhältnis des Abtastfensters ändern. Im Kontakt beseitigt w = 1/3 die dritte Oberwelle, die fünfte beträgt aber noch etwa −4 %, der Fehler etwa 3,4°; bei w ≈ 0,29 ist der Fehler minimal, etwa 1,8°. Der Preis: Die Grundwelle sinkt mit sin(πw), bei w = 1/3 um etwa 13 % (siehe Abb. 3). Mit Abstandsunschärfe verschiebt sich das Tastverhältnis minimalen Fehlers und muss für den tatsächlichen Abstand neu berechnet werden; gründlicher ist eine räumliche Filterung mit mehreren Fenstern oder eine Linearisierung des Dreiecks im Algorithmus (siehe zugehörigen Artikel).
• Amplitude niedrig und Signal dreieckig (feine Teilung, zu großer Abstand): Abstand in den Bereich mit Grundwellenfaktor ≥ 0,9 zurücknehmen, d. h. g ≤ etwa 0,14·p²/λ (bei p = 20 μm etwa 64 μm), und den Wiederkehrbereich der dritten Oberwelle um 2p²/(9λ) meiden.
• Grobe Teilung, ausgedehnte Lichtquelle: Den Arbeitsabstand bewusst nahe g·Δα ≈ p/3 legen und den Halbschatten als Tiefpassfilter nutzen – etwa 17 % Grundwelle gegen eine nahezu sinusförmige Signalform eintauschen.

Praxishinweise

• 50-%-Teilscheibe mit 50-%-Abtastfenster ergibt im Kontakt ein Dreieck: h_n = 1/n², Fehler etwa ±4,1° elektrisch.
• Die Grundwelle des Dreiecks beträgt nur 0,81 des Scheitelwerts; Amplitudenbewertung über Spitze-Spitze-Wert und über Lissajous-Radius unterscheidet sich um etwa 19 %.
• Halbschatten-Unschärfe erhält die Steigung im Nulldurchgang, der Spitze-Spitze-Wert sinkt mit 1 − b/p; bei b = p/3 ist die dritte Oberwelle null.
• Bei feiner Teilung kehrt die dritte Oberwelle bei 2p²/(9λ) wieder, dann bleibt nur noch etwa 0,77 Grundwelle; „Dreieck + niedrige Amplitude“ ist das Kennzeichen eines zu großen Abstands.
• Die drei Versuche feiner Abstands-Scan, Wellenlängenwechsel und Zusatzblende trennen Beugung und Halbschatten.
• Bei Fehlerproblemen zuerst Tastverhältnis des Abtastfensters oder räumliche Filterung ändern, bei Amplitudenproblemen zuerst den Abstand zurücknehmen; beides mit demselben Modell gemeinsam nachrechnen.

Fazit

Das Dreieck ist das direkte Ergebnis der Faltung des Rechtecks der Teilscheibe mit einem Abtastfenster gleicher Periode; die zu niedrige Amplitude stammt aus abstandsbedingtem Halbschatten und Beugung. Bei grober Teilung überwiegt der Halbschatten, das Dreieck rundet sich mit dem Abstand monoton ab; bei feiner Teilung lässt die Beugung die dritte Oberwelle bei 2p²/(9λ) wiederkehren, und es entsteht das Symptom „Dreieck und niedrige Amplitude“. Zuerst mit feinem Abstands-Scan, Wellenlängenwechsel und geänderter Quellengröße die Ursache trennen, dann entscheiden, ob das Tastverhältnis des Abtastfensters oder der Abstand geändert wird.

Übersetzung des chinesischen Originalartikels (0229). ENC7 – Hersteller von Encoderscheiben (Anfrage) · Fachartikel · https://enc7.com

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