Hohe Strichzahl auf kleinem Radius oder niedrige auf großem: Fehlervergleich bei gleicher Auflösung

2²⁰ Zählschritte pro Umdrehung erreicht man mit r = 10 mm, 4096 Strichen und 256-facher Interpolation oder mit r = 20 mm, 1024 Strichen und 1024-facher Interpolation. Dieser Artikel rechnet Exzentrizität, Interpolation, Teilung, Rauschen, Abstand und Frequenz einzeln durch: Mit einem Abtastkopf ergibt sich für Letztere ein Gesamtfehler von etwa 47″, für Erstere etwa 71″; die kritische Exzentrizität beider Varianten liegt bei etwa 0,6 μm.

Für dieselben 2²⁰ (1 048 576) Zählschritte pro Umdrehung, also etwa 1,24″ pro Schritt, gibt es zwei Wege: 4096 Striche auf r = 10 mm mit 256-facher Interpolation oder 1024 Striche auf r = 20 mm mit 1024-facher Interpolation. Die Auflösung ist gleich, die Zusammensetzung der Fehler aber völlig verschieden. Bei der ersten Variante – dichte Striche, kleiner Radius – ist der Exzentrizitätsfehler groß und der Interpolationsfehler klein; bei der zweiten umgekehrt. Dieser Artikel berechnet die Fehleranteile beider Varianten einzeln und zeigt, wann welche zu wählen ist.

Wie sich die Fehleranteile mit r und N ändern

Abtastradius r, Strichzahl N, Interpolationsfaktor k, Zählschritte pro Umdrehung C = N·k.

Exzentrizität (ein Abtastkopf, erste Harmonische): Δθ_e = e / r, e ist der Versatz der Mustermitte zur Drehachse.

Interpolationsfehler: proportional zur Signalperiode. Signalperiode P = 360°/N; beträgt der Interpolationsfehler den Anteil ε_i der Periode (Spitzenwert, relativer Wert bestimmt durch die Signalqualität), so gilt Δθ_i = ε_i·P.

Teilungsfehler: Stammt er hauptsächlich aus dem Strichlagefehler δx (Maskenschreiben, Belichtung, Substratverformung), beträgt der Winkelfehler Δθ_g = δx / r. Stammt er aus einem winkelartigen Fehler (etwa dem Rundtischfehler beim Schreiben in Polarkoordinaten), ist er unabhängig von r.

Rauschen: Das relative Signalrauschen σ_n/A entspricht im Winkel σ_θ = (σ_n/A)·P/(2π), ebenfalls proportional zur Periode.

Abstand: Der maximale Abstand bei abbildender Abtastung beträgt etwa g_max ≈ 0,205·p²/λ (Herleitung im Bibliotheksartikel zur Strichzahlgrenze der abbildenden Abtastung), Teilungsperiode p = 2πr/N.

Signalfrequenz: f = N·n/60, n ist die Drehzahl (r/min).

Man sieht: r geht nur in Exzentrizität, strichlagebedingten Teilungsfehler und Teilungsperiode ein; N nur in Interpolation, Rauschen, Teilungsperiode und Frequenz. Der Unterschied zwischen beiden Varianten ist das Gegeneinander dieser beiden Gruppen.

Rechenbeispiel: 10 mm/4096 Striche gegen 20 mm/1024 Striche

Annahmen: ein Abtastkopf mit Restexzentrizität e = 3 μm, Interpolationsfehler 1 % der Periode (unkompensiert), δx = 0,3 μm, Signal-Rausch-Verhältnis A/σ_n = 500, λ = 0,88 μm.

Die Summe ist die Summe der Spitzenwerte der Anteile. Exzentrizität ist die erste Harmonische, der Interpolationsfehler eine höhere Harmonische mit 1, 2 bzw. 4 Perioden je Signalperiode; bei Ordnungsunterschieden im Tausenderbereich durchläuft der hochfrequente Anteil nahe dem Spitzenwert der ersten Harmonischen viele Perioden, die Spitzen überlagern sich also fast sicher – die direkte Addition der Spitzenwerte ist daher nicht konservativ.

Das Ergebnis ist eindeutig: Mit einem Abtastkopf macht die Exzentrizität 87 % von Variante A aus; Variante B halbiert sie durch den doppelten Radius, die Summe ist etwa 24″ kleiner. Mit zwei Abtastköpfen und kompensierter Exzentrizität bleibt vor allem der Interpolationsfehler; da die Periode von A nur ein Viertel von B beträgt, ist die Summe dann etwa 6″ kleiner.

Kritische Exzentrizität: Wann der große Radius sich lohnt

Setzt man die Summen beider Varianten mit einem Abtastkopf gleich, ist B besser als A, wenn

(e + δx)·(1/r_A − 1/r_B) > ε_i·(P_B − P_A)

mit P in Radiant und r in mm. Mit 1/r_A − 1/r_B = 0,05 mm⁻¹, P_B − P_A = 949,2″ ≈ 4,60 mrad und ε_i = 1 % folgt e + δx > 0,92 μm, also eine kritische Exzentrizität e* ≈ 0,62 μm. Bei ε_i = 2 % ist e* ≈ 1,54 μm, bei 0,5 % etwa 0,16 μm.

Die Restexzentrizität eines Drehgebers mit einem Abtastkopf liegt nach der Montage meist im Mikrometerbereich, also weit über 0,6 μm – dann ist die niedrige Strichzahl auf großem Radius im Vorteil. Erst mit zwei gegenüberliegenden Abtastköpfen, mit Exzentrizitätskompensation nach dem Einbau oder bei ohnehin sehr kleinem Interpolationsfehler zeigt sich der Vorteil der hohen Strichzahl. Abb. 2 zeigt den Gesamtfehler dreier Strichzahlen als Funktion von r: Bei gleichem Radius ist mehr Striche besser, doch 4096 Striche erfordern bei 0,1 mm Abstand r ≥ 13,5 mm – die 10 mm von Variante A liegen auf dem gestrichelten Abschnitt mit zu kleiner Teilungsperiode.

Weitere Kosten

• Abstand und Abtastprinzip: Variante A hat 15,3 μm Teilungsperiode; bei abbildender Abtastung muss der Abstand unter etwa 55 μm liegen, die Reserve für Planlauf und Axialspiel ist sehr klein, oft ist auf interferentielle oder Dreigitter-Abtastung auszuweichen. Bei Variante B ist der Abstand praktisch unkritisch.
• Signalfrequenz: Variante A erreicht bei 6000 r/min 409,6 kHz, Bandbreite des Frontends und Komparatoren sind darauf auszulegen; Variante B nur ein Viertel davon.
• Interpolationselektronik: Variante B teilt jede Periode in 1024 Schritte, ein Schritt entspricht etwa 6,1 mrad elektrisch; die Anforderungen an Rauschen und ADC-Auflösung sind höher, der Rauschwinkel ist 4-mal so groß wie bei A.
• Bauform und Trägheitsmoment: Bei gleicher Dicke wächst das Trägheitsmoment mit der vierten Potenz des Außendurchmessers; Φ44 hat etwa das 11-Fache von Φ24. Bei Servomotoren meist unkritisch, bei bauraumbegrenzten Gelenkmodulen eine harte Randbedingung.

Praxishinweise

• Zuerst klären, ob sich die Exzentrizität kompensieren lässt: Mit einem Abtastkopf dominiert meist die Exzentrizität den Gesamtfehler, im Beispiel etwa 87 % bei Variante A – dann zuerst den Abtastradius vergrößern.
• Mit der kritischen Exzentrizität entscheiden: e* = ε_i·(P_B − P_A)/(1/r_A − 1/r_B) − δx, im Beispiel etwa 0,6 μm; liegt die tatsächliche Exzentrizität darüber, niedrige Strichzahl auf großem Radius wählen.
• Mit zwei Abtastköpfen oder Kompensation nach dem Einbau auf den Interpolationsfehler achten: Er ist proportional zur Signalperiode; im Beispiel ergibt die Variante mit 4096 Strichen 9,4″ gegenüber 15,8″ bei 1024 Strichen.
• Bei hoher Strichzahl auf kleinem Radius zuerst den Abstand prüfen: r = 10 mm, 4096 Striche ergeben 15,3 μm Teilungsperiode, der Abstand bei abbildender Abtastung muss unter etwa 55 μm liegen.
• Bei niedriger Strichzahl auf großem Radius die Interpolationskette prüfen: Der Rauschwinkel ist proportional zur Periode; je höher der Interpolationsfaktor, desto höher die Anforderungen an das Signal-Rausch-Verhältnis von ADC und analogem Frontend.
• Teilungsfehler nach Art unterscheiden: Strichlagefehler sinken mit r, winkelartige sind unabhängig von r; ein größerer Radius hilft nur gegen Erstere.

Fazit

Bei gleicher Auflösung bestimmt die Kombination aus Strichzahl und Radius die Fehlerzusammensetzung: Der Radius bestimmt Exzentrizität und Strichlagefehler, die Strichzahl Interpolationsfehler, Rauschen und Teilungsperiode. Mit einem Abtastkopf und Exzentrizität im Mikrometerbereich ist die niedrige Strichzahl auf großem Radius genauer; ist die Exzentrizität kompensiert, ist die hohe Strichzahl auf kleinem Radius genauer – um den Preis von Abstand und Bandbreite. Setzt man die eigenen Parameter in die Formel der kritischen Exzentrizität ein, lässt sich der Weg direkt bestimmen.

Übersetzung des chinesischen Originalartikels (0302). ENC7 – Hersteller von Encoderscheiben (Anfrage) · Fachartikel · https://enc7.com

© Langfang Jingzheng Optoelectronic Technology Co., Ltd. Alle Rechte vorbehalten. Dieser Artikel wurde mit KI-Unterstützung erstellt.