Abstandscodierte Referenzmarken auf Teilscheiben: Herleitung von minimalem Referenzfahrtwinkel und Abständen

Abstandscodierung auf einer Teilscheibe verlangt, dass sich die Abstände von K Marken paarweise um mindestens Δ unterscheiden und sich genau zu einer Umdrehung addieren. Dieser Artikel leitet Schließbedingung, maximale Markenzahl und maximalen Referenzfahrtwinkel her, zeigt, dass eine verschachtelte Anordnung den Referenzfahrtwinkel auf etwa 2N/K + Δ senkt, und rechnet ein Beispiel mit 32 Marken auf einer 2048-Strich-Scheibe und maximal 23,0° Referenzfahrt.

Hat eine inkrementale Teilscheibe nur eine Referenzmarke, muss nach dem Einschalten im ungünstigsten Fall eine ganze Umdrehung gefahren werden, um sie zu finden. Abstandscodierte Referenzmarken sind bei linearen Maßstäben etabliert (Prinzip und lineare Auslegung siehe die Artikel zur Abstandscodierung in dieser Bibliothek); auf die Teilscheibe übertragen, kennt der Motor den Absolutwinkel bereits nach etwas mehr als zehn bis gut zwanzig Grad Drehung. Der größte Unterschied zwischen Teilscheibe und linearem Codestreifen: Die Scheibe hat keine Enden. Alle Abstände müssen sich genau zu einer vollen Umdrehung addieren, die letzte Marke muss nahtlos an die erste anschließen. Dieser Artikel leitet unter dieser Schließbedingung Abstände, Markenzahl und maximalen Referenzfahrtwinkel her.

Codierregel und Schließbedingung

Einheit ist die Signalperiode der Inkrementalspur; eine Umdrehung hat N Perioden (bei einer 2048-Strich-Scheibe N = 2048). Auf dem Umfang werden K Referenzmarken angeordnet, die Abstände benachbarter Marken seien g_1 … g_K, mit den Forderungen:

• Alle Abstände sind paarweise verschieden, zwei beliebige unterscheiden sich um mindestens Δ Perioden, damit sie bei einem Zählfehler unter Δ/2 noch erkannt werden (Wahl von Δ siehe den Artikel zur Fehlertoleranz der Abstandscodierung in dieser Bibliothek; Δ = 3 korrigiert ±1 Periode);
• der kleinste Abstand ist nicht kleiner als g_min, damit nie zwei Marken gleichzeitig im Abtastfenster liegen;
• Schluss: Σ g_i = N.

Am einfachsten ist eine arithmetische Folge: g_i = D + (i − 1)·Δ. Die Schließbedingung lautet

K·D + Δ·K(K − 1)/2 + R = N

mit dem Rest R (0 ≤ R < K). Ist R nicht null, erhält jeder der R größten Abstände 1 Periode mehr: Untereinander unterscheiden sie sich weiterhin um Δ, von der kleineren Gruppe um Δ + 1, die Unterscheidbarkeit bleibt erhalten. Aus D ≥ g_min folgt die maximale Markenzahl: K ist der größte Wert, für den ⌊(N − Δ·K(K − 1)/2)/K⌋ ≥ g_min gilt.

Nach Überfahren zweier beliebiger benachbarter Marken identifiziert der gemessene Abstand das Segment und damit den Absolutwinkel der gerade überfahrenen Marke. Bei Vorwärtsdrehung ist dies die Endmarke des Segments, bei Rückwärtsdrehung die Anfangsmarke; die Decodierung braucht daher auch die Richtung aus A/B. Exzentrizität wirkt auf die Abstandszählung nur über den Radiusunterschied von Referenzmarkenspur und Inkrementalspur: Bei 20 μm Exzentrizität und Spurradien von 15 mm und 14,2 mm beträgt die Differenzamplitude nur etwa 0,02 Perioden und ist vernachlässigbar.

Maximaler Referenzfahrtwinkel: Die Reihenfolge entscheidet

Von einer beliebigen Position aus müssen zwei Marken gesehen werden; der ungünstigste Fall ist, eine Marke gerade verpasst zu haben, sodass zwei benachbarte Abstände durchfahren werden müssen. Der maximale Referenzfahrtwinkel ist

T_max = max(g_i + g_(i+1))

Bei aufsteigender Anordnung liegen die beiden größten Abstände nebeneinander, T_max ≈ 2N/K + (K − 2)·Δ. Er nimmt mit K zunächst ab und dann zu, mit einem Minimum nahe K = √(2N/Δ).

Ordnet man die Abstände verschachtelt als „kleinster, größter, zweitkleinster, zweitgrößter …“ an, sind die Summen benachbarter Paare nahezu gleich, T_max ≈ 2N/K + Δ. Der Mittelwert aller Nachbarsummen ist genau 2N/K; damit liegt man bereits nahe an der Untergrenze, und je größer K, desto besser – begrenzt nur durch g_min. In der verschachtelten Anordnung ist g_i + g_(K+1−i) konstant, jede zweite Marke ist also genau gleichmäßig verteilt – dieselbe Struktur wie „feste Marke + variable Marke“ bei linearer Abstandscodierung; auf dem Kreis erfüllt sie die Schließbedingung automatisch.

Rechenbeispiel für 2048 Striche

Beispielparameter: Bei r = 15 mm beträgt die Signalperiode etwa 46,0 μm; g_min wird zu 16 Perioden gewählt (etwa 0,74 mm, einschließlich Länge des Referenzmarkenmusters, Abtastfenster und Reserve; angenommener Wert); Δ = 3.

1. Maximale Markenzahl: Für K = 32 ist D = ⌊(2048 − 1488)/32⌋ = 17 ≥ 16, für K = 33 ist D kleiner als 16; also K = 32.
2. Rest R = 2048 − 32 × 17 − 1488 = 16; die 16 größten Segmente erhalten je 1 mehr. Die Abstände sind 17, 20 … 62 (16 Segmente) und 66, 69 … 111 (16 Segmente), Summe 2048.
3. Verschachtelte Anordnung: 17, 111, 20, 108, 23, 105 …, 62, 66. Jede zweite Marke liegt im Abstand von 128 Perioden (22,5°).
4. Maximale Referenzfahrt: aufsteigend 108 + 111 = 219 Perioden (38,5°), verschachtelt 111 + 20 = 131 Perioden (23,0°). Bei gleichverteilten Startpositionen betragen die mittleren Referenzfahrtwinkel etwa 19,7° bzw. 15,9°; eine einzelne Referenzmarke ergibt maximal 360° und im Mittel 180°.

Auswirkung von Δ (g_min = 16 Perioden):

Hinweise zu Layout und Decodierung

Die Mitten der Referenzmarken müssen auf ganzzahlige Signalperioden fallen und auf derselben Maske zu den Inkrementalstrichen ausgerichtet sein; wird der Referenzimpuls dann auf einen Quadranten des Inkrementalsignals torgesteuert, ist die Abstandszählung ganzzahlig. Bei Zählung mit Vierfachauswertung werden Abstände und Δ mit 4 multipliziert. Die Decodiertabelle hat nur K Einträge: Abstandswert → Segmentnummer → Winkel von Anfangs- und Endmarke. Weicht der gemessene Abstand um mehr als Δ/2 vom nächsten Tabellenwert ab, ist ein Fehler zu melden; zur Kontrolle kann eine dritte Marke überfahren werden.

Praxishinweise

• Schließbedingung K·D + Δ·K(K − 1)/2 + R = N; den Rest R auf die R größten Abstände verteilen, die Erkennung leidet nicht.
• Die Markenzahl wird durch den Mindestabstand bestimmt: g_min enthält Markenmuster und Abtastfenster; bei 2048 Strichen, g_min = 16 Perioden und Δ = 3 ist K = 32.
• Immer verschachtelt anordnen: Der maximale Referenzfahrtwinkel sinkt von 2N/K + (K − 2)Δ auf etwa 2N/K + Δ, im Beispiel von 38,5° auf 23,0°.
• Die verschachtelte Anordnung entspricht gleichmäßig verteilten festen Marken mit dazwischen eingefügten variablen Marken; im Beispiel liegen die festen Marken 128 Perioden auseinander.
• Δ = 3 korrigiert Zählfehler von ±1 Periode, kostet aber eine Zunahme des Referenzfahrtwinkels von 14,6° auf 23,0°.
• Die Decodierung muss über die Richtung aus A/B unterscheiden, ob die gerade überfahrene Marke Segmentanfang oder -ende ist; Markenmitten auf derselben Maske zu den Inkrementalstrichen ausrichten.

Fazit

Abstandscodierung auf einer rotierenden Teilscheibe muss drei Bedingungen erfüllen: paarweise Abstandsunterschiede von mindestens Δ, Mindestabstand nicht unter g_min und Gesamtsumme genau eine Umdrehung. Der Mindestabstand bestimmt die Markenzahl, Markenzahl und Anordnung bestimmen den maximalen Referenzfahrtwinkel; die verschachtelte Anordnung bringt die Summe benachbarter Abstände nahe an den Mittelwert 2N/K und damit nahe an die Untergrenze einer Kreisanordnung. Eine 2048-Strich-Scheibe mit 32 Marken kommt mit maximal etwa 23° Referenzfahrt aus – über eine Größenordnung weniger als mit einer einzelnen Referenzmarke.

Übersetzung des chinesischen Originalartikels (0306). ENC7 – Hersteller von Encoderscheiben (Anfrage) · Fachartikel · https://enc7.com

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