Wie die Glaszusammensetzung den Ausdehnungskoeffizienten bestimmt: Abschätzung mit der Oxid-Additivitätsmethode

Der Wärmeausdehnungskoeffizient von Silikatgläsern lässt sich additiv aus den Oxidgehalten abschätzen. Dieser Artikel rechnet mit der Molanteil-Additivitätsmethode Kalk-Natron-, Borosilikat-, Alkali-Alumosilikat- und alkalifreies Glas, vergleicht mit Handbuchwerten und einem Regressionsmodell, erklärt strukturell, warum Alkalien die Ausdehnung erhöhen und SiO₂ sowie Al₂O₃ sie senken, und schätzt den Einfluss von Zusammensetzungsschwankungen auf Chargenunterschiede ab.

Bei der Wareneingangsprüfung ist der vom Lieferanten angegebene Ausdehnungskoeffizient oft nur ein Nennwert, etwa rund 9 für Kalk-Natron-Glas und rund 3,3 für Borosilikatglas (Einheit 10⁻⁶/K). Verschiedene Schmelzen derselben Sorte schwanken in der Zusammensetzung um einige Promille – wie stark unterscheidet sich dann der Ausdehnungskoeffizient, und wie groß ist dieser Unterschied in der Passung zwischen Teilscheibe und Nabe? Ohne Versuche liefert die Oxid-Additivitätsmethode eine erste Größenordnung: Viele Glaseigenschaften sind näherungsweise eine lineare Summe der Beiträge der einzelnen Oxide, und der Ausdehnungskoeffizient gehört zu den gut berechenbaren.

Die Additivitätsmethode: Modell und Koeffizienten

Die Additivitätsmethode nach Appen rechnet mit Molanteilen:

α = Σ xᵢ·aᵢ

Dabei ist xᵢ der Molanteil des i-ten Oxids und aᵢ sein Additivitätskoeffizient (Einheit 10⁻⁶/K, mittlere Ausdehnung von Raumtemperatur bis einige hundert ℃). Gebräuchliche veröffentlichte Koeffizienten: Na₂O etwa 39,5, K₂O etwa 46,5, BaO etwa 20, CaO etwa 13, MgO etwa 6, Al₂O₃ etwa −3. Der Koeffizient von SiO₂ hängt vom Gehalt ab: Für einen Molanteil x ≥ 0,67 gilt 10,5 − 10x (reines SiO₂ ergibt 0,5), für x < 0,67 gilt 3,8. Der Koeffizient von B₂O₃ ändert sich stark mit der Zusammensetzung; die Literatur nennt einen Bereich von −5 bis 0, man kann nur mit einem Intervall oder einem Mittelwert rechnen.

Zusammensetzungen werden meist in Massenanteilen angegeben und müssen zuerst umgerechnet werden: xᵢ ∝ wᵢ / Mᵢ (Mᵢ Molmasse), anschließend normieren. Die andere Familie, die Methode nach Winkelmann–Schott, addiert direkt Massenanteile; sie ist gröber und weicht bei Gläsern mit viel BaO und Al₂O₃ deutlich ab (in den Beispielen dieses Artikels für alkalifreies Glas um etwa 2 Einheiten zu hoch; nicht empfohlen).

Rechenbeispiel

Alle folgenden Zusammensetzungen sind typische Beispiele und entsprechen keiner bestimmten Sorte. Kalk-Natron-Glas (Gew.-%): SiO₂ 72,6, Na₂O 13,9, CaO 8,4, MgO 4,0, Al₂O₃ 0,7, K₂O 0,4, umgerechnet in Mol-% 71,4, 13,2, 8,8, 5,9, 0,4, 0,3. Der SiO₂-Koeffizient ist dann 10,5 − 7,14 = 3,36, die Beiträge:

Der Handbuchbereich liegt bei etwa 8,5–9,5, das passt. Na₂O allein macht mehr als die Hälfte aus.

Die vier Beispielzusammensetzungen im Vergleich (siehe Abb. 2):

Werte in Klammern: Bereich für einen B₂O₃-Koeffizienten von −5 bis 0. Das Regressionsmodell ist das von Fluegel vorgeschlagene globale statistische Modell mit quadratischen und Wechselwirkungstermen; es bezieht sich auf den Ausdehnungskoeffizienten bei etwa 210 ℃, sein angegebener Standardfehler beträgt etwa 0,4, und laut Autor ist es etwa doppelt so genau wie frühere Additivitätsmethoden. Bei borhaltigen Gläsern weichen beide Methoden um 0,4–0,7 voneinander ab, und zwar wegen der „Boranomalie“ von B₂O₃: Die festen Koeffizienten der Additivitätsmethode können nicht beschreiben, wie sich die Koordination des Bors mit der Zusammensetzung ändert.

Strukturelle Ursachen: Warum Alkalien die Ausdehnung erhöhen und Netzwerkbildner sie senken

Quarzglas ist ein dreidimensionales Netzwerk aus Si–O-Tetraedern, die über Brückensauerstoffe verbunden sind; die Bindungen sind stark, das Netzwerk ist offen, und beim Erwärmen gleicht die Querschwingung der Sauerstoffatome sogar einen Teil der Bindungslängenausdehnung aus – daher liegt sein Ausdehnungskoeffizient nur bei etwa 0,5.

Zugesetztes Na₂O bricht Brückensauerstoffe zu Nichtbrückensauerstoffen auf; Na⁺ besetzt die Netzwerklücken mit einer viel schwächeren Ionenbindung, die Anharmonizität der Bindung ist groß, die Vernetzung nimmt ab, die Ausdehnung steigt. Erdalkaliionen (Ca²⁺, Mg²⁺) haben höhere Ladung und Feldstärke und können zwei Nichtbrückensauerstoffe zusammenziehen, wirken also lokal vernetzend; ihre Koeffizienten sind daher kleiner als die der Alkalien, und Mg kleiner als Ca – bei gleichem Molanteil erhöhen sie die Ausdehnung weniger.

Al₂O₃ tritt in Gegenwart von Alkalien als AlO₄⁻-Tetraeder in das Netzwerk ein, ladungskompensiert durch Na⁺, und wandelt Nichtbrückensauerstoffe wieder in Brückensauerstoffe um; sein Koeffizient ist leicht negativ. B₂O₃ liegt in dreifacher und vierfacher Koordination vor, deren Verhältnis sich mit dem Alkaligehalt ändert – deshalb ist sein Koeffizient nicht konstant (Abb. 3).

Einfluss von Zusammensetzungsschwankungen auf Chargenunterschiede

Eine Sensitivitätsanalyse mit den Appen-Koeffizienten: Für je 0,5 Gew.-% SiO₂, die durch die folgenden Oxide ersetzt werden, ändert sich der Ausdehnungskoeffizient um:

Je 1 Gew.-% Na₂O ändert α um etwa 0,4–0,45. Schwankt das Na₂O einer Borosilikatcharge um ±0,5 Gew.-%, schwankt α um etwa ±0,23, das sind 7 % von 3,1; bei Kalk-Natron-Glas macht dieselbe Schwankung nur 2 % von 9,2 aus. In Abmessungen: Bei r = 20 mm und 60 K Temperaturerhöhung ist Δr = r·Δα·ΔT ≈ 0,27 μm. Gleichmäßige Ausdehnung verändert die Winkellagen der Striche nicht und erzeugt keine Teilungsfehlanpassung; was diese Größe tatsächlich beeinflusst, ist der Ausdehnungsunterschied zur Metallnabe. So unterscheiden sich Edelstahl (etwa 16,5) und Kalk-Natron-Glas (etwa 9,2) an einer Passfläche bei r = 10 mm um 10 × 7,3×10⁻⁶ × 60 ≈ 4,4 μm; die Chargenschwankung beträgt davon nur wenige Prozent.

Die Abschätzung aus der Zusammensetzung dient also vor allem zwei Zwecken: zu beurteilen, ob der Nennwert des Lieferanten plausibel ist, und die Größenordnung des Ausdehnungsunterschieds bei Material- oder Schmelzwechsel einzuschätzen. Genaue Werte erfordern Messungen.

Praxishinweise

• Die Additivitätsmethode eignet sich für Größenordnungen und Trends; bei borhaltigen Gläsern ein Intervall statt eines Einzelwerts angeben.
• Vor der Abschätzung Massenanteile in Molanteile umrechnen und wᵢ/Mᵢ normieren; wer beide Bezugsbasen mischt, erhält falsche Ergebnisse.
• Die Ausdehnung von Kalk-Natron-Glas wird von Na₂O bestimmt, etwa 0,4 je 1 Gew.-%; zur Prüfung der Chargenkonstanz vom Lieferanten Chargendaten zu Na₂O-Gehalt oder Ausdehnungskoeffizient verlangen.
• Die Werkstoffpaarung von Teilscheibe und Nabe nach Messwerten oder Handbuchwerten festlegen; Chargenschwankungen sind meist nur eine Korrektur von wenigen Prozent.
• Bei alkalifreiem Alumoborosilikatglas kann die Abschätzung um etwa 0,5 abweichen; bei der Auswahl nicht nur auf die Formel verlassen, sondern das Prüfprotokoll ansehen.
• Temperaturbereiche abgleichen: Handbücher geben meist den Mittelwert 20–300 ℃ an, das mit der Additivitätsmethode verglichene Regressionsmodell bezieht sich auf etwa 210 ℃ – ein direkter Vergleich hat einen Bezugsunterschied.

Fazit

Der Ausdehnungskoeffizient von Glas lässt sich additiv über Molanteile abschätzen: etwa 9,2 für Kalk-Natron-Glas und etwa 3,1 (Bereich 2,8–3,3) für Borosilikatglas, in guter Übereinstimmung mit Handbuchwerten. Alkalien brechen das Netzwerk auf und erhöhen die Ausdehnung, SiO₂ und Al₂O₃ stärken das Netzwerk und senken sie, die Wirkung von B₂O₃ hängt von seiner Koordination ab. Je 1 Gew.-% Na₂O ändert α um etwa 0,4; mit diesem Koeffizienten lässt sich der Ausdehnungsunterschied zwischen Chargen abschätzen.

Übersetzung des chinesischen Originalartikels (0561). ENC7 – Hersteller von Encoderscheiben (Anfrage) · Fachartikel · https://enc7.com

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