Anisotrope Ausdehnung von Kristallsubstraten: Wie ungleiche In-Plane-Ausdehnung einen Winkelfehler 2. Ordnung erzeugt

Einkristalline Substrate haben entlang verschiedener Kristallachsen unterschiedliche lineare Ausdehnungskoeffizienten. Bei ungleicher In-Plane-Ausdehnung auf der Waferfläche lenken Radialstriche unter einem 2×-Winkel aus. Dieser Artikel leitet die Fehleramplitude Δα·sin²ν·ΔT/2 her, berechnet etwa 5″ für Saphir A-Ebene und etwa 31″ für Quarz X/Y-Schnitte (ΔT = 50 K, Beispielparameter) und gibt Gegenmaßnahmen zu Orientierung, Abtastkopf-Anordnung und Temperaturkompensation.

Amorphes Glas dehnt sich isotrop aus: Eine Temperaturerhöhung vergrößert die Teilscheibe nur leicht und lässt die Winkelpositionen radialer Striche unverändert. Mit einem Einkristallsubstrat (Saphir, Kristallquarz) ändert sich das Bild: Der lineare Ausdehnungskoeffizient hängt von der Richtung ab, sodass ein Wafer, dessen zwei In-Plane-Achsen sich ungleich ausdehnen, beim Erwärmen einen Kreis in eine Ellipse verwandelt und die Radialen mitlenken. Der Fehler erscheint zweimal pro Umdrehung, ist unabhängig vom Abtastradius und lässt sich durch diametral gegenüberliegende Doppel-Abtastköpfe nicht auslöschen. Dieser Artikel führt den Effekt vom Wärmeausdehnungstensor bis zu Bogensekunden und beantwortet zwei Ingenieurfragen: Welche Schnitte sind sicher, und wie unterdrückt man den Rest.

Modell: vom Ausdehnungstensor zum 2. Winkelfehler

Für trigonale, hexagonale und tetragonale Systeme (darunter Saphir und α-Quarz) hat der lineare Ausdehnungskoeffizient nur zwei unabhängige Werte: α∥ entlang der optischen Achse (c-Achse) und α⊥ senkrecht dazu. Für eine beliebige Richtung unter dem Winkel χ zur c-Achse gilt:

α(χ) = α⊥ + (α∥ − α⊥)·cos²χ = α⊥ + Δα·cos²χ

mit Δα = α∥ − α⊥. Bildet die Wafernormale den Winkel ν mit der c-Achse, hat die Fläche zwei Hauptachsen: eine entlang der In-Plane-Projektion der c-Achse (unter 90° − ν zur c-Achse) mit Ausdehnung α⊥ + Δα·sin²ν; die andere senkrecht zur c-Achse mit Ausdehnung einfach α⊥. Die In-Plane-Differenz ist

Δα_eff = Δα·sin²ν

Sie ist 0 für die C-Ebene (ν = 0), Δα für die A-Ebene (ν = 90°) und 0,713·Δα für die R-Ebene (Normale etwa 57,6° von der c-Achse). Kubisches Silizium hat dieses Problem nicht: Sein Wärmeausdehnungstensor ist isotrop (elastische Anisotropie ist eine andere Sache).

Angenommen, die Striche werden bei T₀ als ideale Radialen geschrieben. Nach einem Anstieg ΔT sind die Hauptverzerrungen ε_x = α_x·ΔT und ε_y = α_y·ΔT. Ein Punkt (r·cosφ, r·sinφ) bei Winkelposition φ in Kristallachsen wandert nach (r(1+ε_x)cosφ, r(1+ε_y)sinφ), und der Winkelversatz erfüllt

tan(φ + δ) = (1+ε_y)/(1+ε_x)·tanφ, δ ≈ (ε_y − ε_x)/2 · sin2φ

Fehleramplitude

A₂ = Δα_eff·ΔT / 2

wobei φ von der x-Achse aus gemessen wird. Daraus folgen drei Eigenschaften: unabhängig vom Radius r; der isotrope Anteil der gleichförmigen Ausdehnung fällt ganz heraus; die Ablenkung ist bei φ = 45° am größten. Bei festem Abtastkopf und einer Umdrehung der Scheibe überstreicht φ 360°, und der Fehler zeigt zwei Perioden (Abb. 1, rechts). Dieselbe Form tritt bei gereckten Kunststofffolien-Teilscheiben auf (siehe einen anderen Artikel in dieser Bibliothek); bei Kristallen stammt die Anisotropie aus dem Gitter und ändert sich von Charge zu Charge kaum.

Zahlenbeispiel: 50 K Temperaturdifferenz

Nimm ΔT = 50 K (bezogen auf die Schreibtemperatur). Literaturwerte von Saphir-Δα liegen in der Größenordnung 1 ppm/K, doch genaue Zahl, Vorzeichen und sogar die Temperaturabhängigkeit widersprechen sich zwischen Quellen; die Tabelle unten nutzt drei Beispielstufen 0,5, 1,0 und 1,6 ppm/K. Für α-Quarz liegt α∥ bei etwa 7,1–7,5 und α⊥ bei etwa 13,2–13,7 ppm/K, also Δα etwa 6 ppm/K (das Vorzeichen ist unabhängig von Saphir und verschiebt nur die Phase).

Für die A-Ebene mit Δα = 1,0 ppm/K: Δε = 1,0×10⁻⁶ × 50 = 50 ppm, A₂ = 25×10⁻⁶ rad × 206265 ≈ 5,2″. Direkte numerische Auswertung des exakten arctan ergibt 5,157″; die Kleinwinkel-Näherung weicht um weniger als drei Zehntausendstel ab. Auf einer 2048-Strich-Teilscheibe ist eine Signalperiode etwa 632,8″, also sind 5,2″ 0,8 % einer Periode; die 31″ des Quarz-X/Y-Schnitts sind nahezu 5 % einer Periode und bei hoher Interpolation nicht vernachlässigbar. Umgekehrt gilt für eine Begrenzung des Fehlers 2. Ordnung auf 1″ die zulässige Temperaturabweichung

ΔT_max = 2·e_max / Δα_eff

Mit e_max = 1″ = 4,85 μrad erlaubt A-Ebenen-Saphir (Δα = 1,0) etwa 9,7 K, R-Ebene etwa 13,6 K und Quarz X/Y-Schnitt nur etwa 1,6 K.

Gegenmaßnahmen: Orientierung, Abtastköpfe und Temperaturkompensation

1. C-Ebene (Saphir) oder Z-Schnitt (Quarz) bevorzugen. Steht die optische Achse senkrecht zur Scheibe, ist die Fläche isotrop und der Term 2. Ordnung null. Bei Schnittabweichung γ fällt die In-Plane-Differenz Δα·sin²γ quadratisch: bei γ = 1° nur 3×10⁻⁴ von Δα; für Saphir Δα = 1,0 ppm/K und ΔT = 50 K ergibt γ = 5° noch etwa 0,04″, Z-Schnitt-Quarz bei γ = 5° etwa 0,24″ (Abb. 3, links). Die Schnitt-Toleranz der C-Ebene darf also auf Grad-Niveau gelockert werden; dafür extra zu zahlen ist unnötig.

2. Abtastköpfe nach Harmonischen anordnen. Mittelung von N Abtastkopf-Signalen lässt den Restanteil |Σe^(ikφ_j)|/N der k-ten Harmonischen. Diametral gegenüberliegende Köpfe (180°) löschen die 1. (Exzentrizität), behalten aber die 2. vollständig; zwei Köpfe im Abstand 90° löschen die 2. genau und lassen 0,707 der 1.; vier gleichmäßig verteilte Köpfe löschen beide (Abb. 3, rechts). Muss eine A- oder R-Ebene verwendet werden, entweder 90°- oder Vierkopf-Anordnung wählen oder die Tabellenamplituden über den Temperaturbereich hinnehmen.

3. Temperaturkompensation. A₂ = Δα_eff·(T − T₀)/2 ist an die Kristallachsen gebunden: Die Phase ergibt sich aus der Achsorientierung relativ zum Abtastkopf, die Amplitude ist proportional zur Temperaturdifferenz gegenüber dem Schreiben. Achsrichtung bei der Werks-Kalibrierung notieren, im Betrieb Temperatur messen – aus beiden Parametern folgt die Korrektur. Beim Abkühlen kehrt sich das Vorzeichen der Amplitude um.

4. Weitere Unterschiede. A- und R-Ebenen-Wafer sind doppelbrechend (Saphir Δn etwa 0,008; 1 mm Dicke nahe 850 nm ergibt etwa 9 Wellen Retardation), polarisationsempfindliche Abtastung muss geprüft werden; auf der C-Ebene läuft Licht entlang der c-Achse und erzeugt bei senkrechtem Einfall keine Doppelbrechung.

Engineering-Hinweise

• In-Plane-Anisotropiefehler A₂ = Δα·sin²ν·ΔT/2, unabhängig vom Abtastradius; ΔT_max = 2·e_max/Δα_eff für die zulässige Temperaturabweichung umkehren.
• Saphir-C-Ebene bevorzugen; innerhalb 5° Schnittfehler schrumpft Δα_eff um mehr als zwei Größenordnungen. A- oder R-Ebene nur mit klarem Grund verwenden.
• Quarz-Z-Schnitt bevorzugen; X/Y-Schnitte haben Δα etwa 6 ppm/K und etwa 31″ Fehler bei 50 K – ungeeignet für hohe Interpolation.
• Weder ein einzelner Abtastkopf noch diametrale Doppelköpfe unterdrücken die 2. Harmonische; bei Bedarf 90° oder Vierkopf-Gleichverteilung.
• Größe und Vorzeichen von Saphir-Δα variieren je nach Literatur; vor der Auswahl gemessene Ausdehnungsdaten beim Lieferanten anfordern oder die 2. Harmonische selbst im Thermozyklus kalibrieren.
• Bei der Thermozyklus-Validierung den Vollkreisfehler Fourier-zerlegen und die 2. Komponente über der Temperatur getrennt von der 1. (Exzentrizität) beobachten.

Kurzfassung

Die Wärmeausdehnung eines Einkristallsubstrats beschreibt ein Tensor zweiter Stufe. Unterscheiden sich die beiden In-Plane-Hauptausdehnungskoeffizienten, erzeugt eine Temperaturerhöhung einen zweimal-pro-Umdrehung auftretenden, radiusunabhängigen Winkelfehler mit Amplitude Δα_eff·ΔT/2. Saphir-C-Ebene und Quarz-Z-Schnitt sind in der Ebene isotrop und die passende Wahl; A-Ebene, R-Ebene oder Quarz-X/Y-Schnitte müssen über Abtastkopf-Anordnung, Temperaturführung und Kompensation beherrscht werden.

Übersetzung des chinesischen Originalartikels (0571). ENC7 – Hersteller von Encoderscheiben (Anfrage) · Fachartikel · https://enc7.com

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