Spezifische Steifigkeit und Substratwahl: Durchbiegung und Eigenfrequenz gleich großer Teilscheiben in verschiedenen Werkstoffen

Bei gleicher Teilscheibengröße skaliert die erste Eigenfrequenz mit √(E/ρ), und die Eigengewichts-Durchbiegung erfüllt w ≈ 1,2g/(2πf₁)², unabhängig vom Werkstoff. Mit der exakten Kreisringplatten-Lösung berechnet dieser Artikel f₁ und Durchhang für sechs Substrate (Beispiel Ø200 mm, 2 mm), vergleicht Dicke und Masse bei gleicher Frequenz und gibt Auswahlhinweise für große Durchmesser.

Werden Teilscheiben größer und dünner, zählt, ob die Fläche durchhängt oder schwingt, ebenso wie die Strichgenauigkeit: Reflexive und kleinlückige Abtastköpfe sind empfindlich gegen axiale Flächenlage, sodass Eigengewichts-Durchhang und Schwingung zu Spaltänderungen werden. Ein gängiger Rat lautet „steiferen Werkstoff wählen“, doch Elastizitätsmoduln von Glas, Saphir und Silizium unterscheiden sich um Faktoren, Dichten ebenso – welche Größe ist maßgeblich? Dieser Artikel klärt Durchbiegung und Eigenfrequenz mit einem Kreisringplattenmodell. Es zählt nur eine Größe: die spezifische Steifigkeit E/ρ, und Durchbiegung und Frequenz sind zwei Aussagen derselben Sache.

Abb. 1 – Sechs Substrat-Teilscheiben Ø200 mm, 2 mm dick: links Seitenansicht der ersten Mode (Amplitude überhöht, Drehzahl nach f1 skaliert); rechts erste Frequenz und Eigengewichts-Durchbiegung bei steigender spezifischer Steifigkeit (Beispielparameter, exakte Kreisringplatten-Lösung)

Modell: zwei Formeln und eine Identität

Die Teilscheibe ist auf einer Nabe geklemmt. Man behandelt sie als dünne Kreisringplatte mit innen fest eingespanntem Rand (Klemmradius a) und freiem Außenrand (Radius R), Dicke t. Biegesteifigkeit

D = E·t³ / [12(1 − ν²)]

Erste Eigenfrequenz

f₁ = λ² / (2πR²) · √(D / ρt) = λ² / (2πR²·√(12(1 − ν²))) · t · √(E/ρ)

wobei λ² der Frequenzkoeffizient aus der exakten Bessel-Lösung ist: 4,80 bei ν = 0,2, a/R = 0,2 und 5,59 bei a/R = 0,25. Die niedrigste Mode ist eine Kippmode mit 1 Knotendurchmesser, 2 %–6 % unter der achsensymmetrischen Schirmmode. Bei waagerechter Fläche unter alleinigem Eigengewicht ρg·t ist der Außendurchhang

w = α·ρg·t·R⁴ / D = 12α(1 − ν²)·g·R⁴·ρ / (E·t²)

α hängt nur von der Geometrie ab: etwa 0,054 bei a/R = 0,2, etwa 0,043 bei 0,25. Vergleich der beiden Formeln: f₁ ∝ (t/R²)·√(E/ρ), w ∝ (R⁴/t²)·ρ/E; der Werkstoff geht nur über E/ρ ein (und eine nahe-1 1 − ν²-Korrektur). Zusammengefasst:

w ≈ κ·g / (2π·f₁)², κ ≈ 1,2–1,4

κ ist geometriebestimmt und werkstoffunabhängig. Eigengewichts-Durchbiegung ist schlicht „g geteilt durch Kreisfrequenz im Quadrat“: Eine Scheibe mit f₁ = 240 Hz hängt etwa 5,4 μm durch, bei 100 Hz etwa 31 μm. Durchbiegung und Frequenz sind also keine zwei Kennzahlen – kennt man f₁, kennt man den Eigengewichts-Durchhang (Abb. 3, links: alle Punkte liegen auf einer Linie).

Zahlenbeispiel: Ø200 mm, 2 mm dick

Annahme Außendurchmesser 200 mm, Klemmradius 20 mm, Dicke 2 mm, Fläche waagerecht. Werkstoffe mit typischen Werten (Saphir in a-Achsen-Größenordnung, Anisotropie etwa ±10 %; Einkristallsilizium Mittelwert von 130–169 GPa; alkalifreies Glas als Größenordnung):

Werkstoff	E (GPa)	ρ (g/cm³)	E/ρ (MJ/kg)	f₁ (Hz)	Äußerer Eigengewichts-Durchhang (μm)
Kalk-Natron-Glas	70	2,50	28,0	239	5,4
Borosilikatglas	63	2,23	28,3	239	5,4
Alkalifreies Glas	74	2,38	31,1	253	4,8
Quarzglas	72	2,20	32,7	256	4,8
Einkristallsilizium	150	2,33	64,4	366	2,3
Saphir	345	3,98	86,7	427	1,7

Unter den vier Gläsern unterscheidet sich E/ρ nur um etwa 20 %, f₁ um etwa 7 %; der Wechsel von Kalk-Natron zu Quarzglas bringt kaum Steifigkeit. Saphir und Silizium haben E/ρ das 2–3-Fache von Glas, f₁ steigt um das 1,5–1,8-Fache und der Durchhang fällt auf etwa das 0,3–0,4-Fache.

Skalengesetze zählen mehr: Verdopplung des Außendurchmessers senkt f₁ auf 1/4 und vervielfacht den Durchhang mit 16; Verdopplung der Dicke verdoppelt f₁ und senkt den Durchhang auf 1/4. Dieselbe Borosilikatscheibe bei Ø200 mm, 1 mm dick hat nur etwa 120 Hz und etwa 22 μm Durchhang; bei Ø80 mm, 1 mm dick (Klemmradius 10 mm) liegt f₁ bei etwa 870 Hz und der Durchhang bei nur 0,44 μm – kleine Scheiben brauchen keine Sorge.

Auslegung bei gleicher Frequenz: Saphir wird dünner, aber nicht leichter

Forderung f₁ ≥ 500 Hz und Auflösung nach Dicke:

t_min = 2πR²·f₁ / λ² · √(12(1 − ν²)ρ / E)

Bei Ø200 mm brauchen Borosilikat und Kalk-Natron etwa 4,2 mm, Quarzglas etwa 3,9 mm, Silizium etwa 2,7 mm, Saphir etwa 2,3 mm (Abb. 2). Masse ∝ ρ·t ∝ ρ^1,5/√E; relativ zu Borosilikat: Saphir etwa 1,00, Quarzglas 0,92, Silizium 0,68, Kalk-Natron 1,12. Saphir ist dünner, aber dichter, bei gleicher Frequenz also nicht leichter, und das Trägheitsmoment verbessert sich nicht; Silizium ist etwa drei Zehntel leichter, im Nahinfrarot 850–950 nm jedoch nahezu undurchsichtig und nur für reflektive oder geschlitzte Muster nutzbar (siehe einen anderen Artikel in dieser Bibliothek).

Abb. 2 – Mindestdicke über dem Außendurchmesser bei fester erster Frequenzanforderung: t ∝ R²; Kurven nach spezifischer Steifigkeit in Glas-, Silizium- und Saphir-Bänder geteilt

Jenseits der spezifischen Steifigkeit: Klemmradius und Drehzahl

Klemmradius. Erhöht man a/R von 0,2 auf 0,4, steigt λ² von 4,80 auf 9,07, f₁ verdoppelt sich nahezu, α fällt von 0,054 auf 0,018 und der Durchhang auf etwa ein Drittel. Den Kleberingradius der Nabe zu vergrößern ist billiger als die Scheibe zu verdicken oder den Werkstoff zu wechseln – sofern die Abtastspuren nicht von der Nabe verdeckt werden.

Drehzahl. Zentrifugalspannung skaliert mit ρω²R², unabhängig von E. In Freiloch-Näherung hat Borosilikat Ø200 mm bei 6000 r/min etwa 7 MPa Umfangsspannung am Lochrand, bei 20000 r/min etwa 79 MPa (ohne Montage- und Klebspannung). Bei niedriger bis mittlerer Drehzahl begrenzt also Steifigkeit und Schwingung die Auswahl; erst bei hoher Drehzahl zählen spezifische Festigkeit und Randfehler. Außerdem Drehfrequenz und ihre niedrigen Harmonischen von f₁ freihalten; Rotation spaltet Knotendurchmesser-Moden im Laborsystem weiter auf – mit Rotorscheibenmodell prüfen.

Abb. 3 – Links: Punkte verschiedener Werkstoffe und Dicken liegen auf einer w–f₁-Linie; rechts: relative Dicke und Masse bei gemeinsamen 500 Hz

Engineering-Hinweise

Zuerst f₁ berechnen, dann Eigengewichts-Durchhang mit w ≈ 1,2g/(2πf₁)² schätzen; nur bei waagerechter Fläche und Spalttoleranz im Bereich einiger zehn Mikrometer ist eine Prüfung nötig.
Unter Gläsern nicht wegen Steifigkeit wechseln: E/ρ unterscheidet sich nur um etwa 20 %. f₁ erhöhen durch Verdicken (f₁ ∝ t), Verkleinern des Außendurchmessers (∝ 1/R²) oder Vergrößern des Klemmradius.
Für große dünne Glasscheiben f₁ wirklich rechnen: dasselbe Borosilikat, Ø150 mm × 3 mm etwa 640 Hz, Ø200 mm × 2 mm nur etwa 240 Hz.
Vergleiche bei gleicher Frequenz müssen Masse und Trägheit betrachten, nicht nur die Dicke: dünnerer Saphir heißt nicht leichter.
E von Saphir und Silizium hängt von der Kristallrichtung ab; Tabellenwerte sind Größenordnungen – vor Festlegung Orientierung und gemessenen Modul beim Lieferanten anfordern.
Die reale f₁ hängt von der Kleberingsteifigkeit ab und liegt unter idealer Einspannung; an Mustern per Anklopfen oder Laservibrometrie prüfen.

Kurzfassung

Bei gleicher Teilscheibengröße skaliert die erste Eigenfrequenz mit √(E/ρ) und die Eigengewichts-Durchbiegung mit ρ/E, und w ≈ κg/(2πf₁)² verbindet beides zu einer Tatsache. Unterschiede der spezifischen Steifigkeit unter Gläsern sind klein, die Werkstoffwahl ändert wenig; Saphir und Silizium können f₁ um etwa das 1,5–1,8-Fache heben, doch Saphir senkt die Masse nicht und Silizium ist durch Nah-IR-Undurchsichtigkeit begrenzt. Die Steifigkeit großer Durchmesser gewinnt man vor allem über Dicke, Außendurchmesser und Klemmradius.

Übersetzung des chinesischen Originalartikels (0572). ENC7 – Hersteller von Encoderscheiben (Anfrage) · Fachartikel · https://enc7.com