Optische Inhomogenität von Glas: Wie Schlieren und Brechzahlschwankungen phasenbasierte Abtastung beeinflussen

Brechzahlschwankungen Δn im Glas erzeugen im durchgehenden Licht eine optische Wegdifferenz OPD = Δn·t. Bei Δn = 10⁻⁵ und 1–2 mm Dicke sind das nur 10–20 nm, für amplitudenbasierte Abtastung vernachlässigbar; bei interferentieller Beugungsabtastung durchlaufen die beiden Teilstrahlen verschiedene Stellen und erhalten eine Phasendifferenz, im ungünstigsten Fall etwa 1–2″ (Beispiel). Der Artikel leitet die Homogenitätsanforderung her.

„Transparenz“ und „Homogenität“ von Glas sind zweierlei: Ein Glas, das überhaupt kein Licht absorbiert, kann im Inneren dennoch Brechzahlschwankungen von 10⁻⁵ oder mehr aufweisen – Ursachen sind ungleichmäßige Zusammensetzung beim Schmelzen (in Form von Schlieren), ein ungleichmäßiges Temperaturfeld beim Kühlen und Spannungen. Die herkömmliche Sicht lautet: „Das betrifft nur abbildende Optik, eine Teilscheibe muss sich darum nicht kümmern.“ Für lichtundurchlässige Strukturen stimmt das im Wesentlichen; sobald die Abtastung aber von der Phase des Lichts abhängt, sieht es anders aus. Der Artikel berechnet zunächst optische Wegdifferenz und Wellenfrontverzerrung, betrachtet dann getrennt, wie amplitudenbasierte und interferentielle Beugungsabtastung beeinflusst werden, und leitet schließlich aus dem Winkelfehlerbudget die Homogenitätsanforderung ab.

Abb. 1 – Eine ebene Welle wird nach dem Durchgang durch Glas mit Schlieren verzerrt (25-fach überhöht dargestellt): Δn steigt von 0 auf 1×10⁻⁵ (Spitze-Tal), dann die Dicke von 1 mm auf 2 mm, zuletzt Δn auf 2×10⁻⁵; rechts die laterale Verteilung der optischen Wegdifferenz (Schlierenform als Beispiel)

Modell: optische Wegdifferenz und Wellenfront

Licht durchlaufe Glas der Dicke t in Dickenrichtung, die Brechzahl ändere sich mit der lateralen Position y als n(y) = n₀ + Δn(y). Dann gilt für optische Wegdifferenz und Phase an jedem Punkt der Wellenfront

OPD(y) = Δn(y) · t, φ(y) = 2π · OPD(y) / λ

mit Δn als Spitze-Tal-Wert und λ als Wellenlänge. Bei Δn = 10⁻⁵ und λ = 850 nm:

t = 1 mm: OPD = 10 nm, etwa λ/85, Phase Spitze-Tal 4,2°;
t = 2 mm: OPD = 20 nm, etwa λ/43, Phase Spitze-Tal 8,5°.

Zum Vergleich: λ/4 entspricht 212 nm. Eine gleichmäßige Verschiebung der gesamten Wellenfront hat keinen Einfluss auf den Messwert; wirksam ist nur ihre laterale Änderung: Die Wellenfrontneigung dOPD/dy lenkt Strahlen ab, und die OPD-Differenz zwischen zwei Punkten führt zu unterschiedlicher Phase (Abb. 2).

Abb. 2 – Optische Wegdifferenz in Abhängigkeit von Brechzahlschwankung Δn und Dicke; rote Punkte: 1-mm- und 2-mm-Glas bei Δn = 1×10⁻⁵

Amplitudenbasierte Abtastung: sehr kleine Ablenkung

Die Schlieren schwanken kosinusförmig mit Periode Λ_s und Amplitude Δn/2; der maximale Ablenkwinkel des Strahls ist dann πΔn·t/Λ_s. Mit Λ_s = 0,1 mm, t = 1 mm und Δn = 10⁻⁵ ergibt sich eine Ablenkung von 3,1×10⁻⁴ rad (etwa 65″). Liegt die Struktur auf der Eintrittsseite und beträgt der Abstand von der Glasaustrittsfläche zum Abtastgitter g = 0,1 mm, verschiebt sich das Bild um 31 nm – nur 0,16 % einer Teilungsperiode von 20 μm, umgerechnet bei r = 20 mm etwa 0,3″; bei Λ_s = 1 mm sind es nur 3 nm. Der Hell-Dunkel-Kontrast bleibt unbeeinflusst; Δn in der Größenordnung 10⁻⁵ ist für amplitudenbasierte Abtastung daher vernachlässigbar.

Interferentielle Beugungsabtastung: Die beiden Teilstrahlen sehen unterschiedliches Glas

Die Beugungsabtastung beruht auf der Überlagerung der ±1. Beugungsordnungen. Für ein Gitter mit Teilungsperiode p gilt im Glas sinθ_g = λ/(n·p); nach Durchlaufen der Dicke t haben die beiden Strahlen den Abstand

s = 2t · tanθ_g

Bei p = 20 μm, n = 1,51 und λ = 0,85 μm ist sinθ_g = 0,028; für t = 1 mm ergibt sich s = 56 μm, für t = 2 mm 113 μm. Da beide Strahlen verschiedene Stellen durchlaufen, hängt die Phasendifferenz nur vom Unterschied des Glases an diesen beiden Stellen ab:

δφ = (2π/λ) · Δn · t · |sin(πs/Λ_s)|

Ungünstigster Fall ist eine Schlierenperiode Λ_s = 2s; dann gilt δφ = 2πΔn·t/λ (also die obige Phase Spitze-Tal). Die Phasendifferenz der beiden Strahlen entspricht einer Gitterverschiebung x = δφ·p/(4π), als Winkel x/r. Rechenbeispiel (Δn = 10⁻⁵, p = 20 μm, r = 20 mm, Beispiel):

Dicke	Ungünstigster Fall (Λ_s = 2s)	Λ_s = 1 mm	Λ_s = 10 mm
1 mm	4,2°, 1,2″	0,75°, 0,21″	0,07°, 0,02″
2 mm	8,5°, 2,4″	2,9°, 0,84″	0,30°, 0,09″

Am stärksten ist der Einfluss, wenn die Schlierenperiode dem Strahlabstand vergleichbar ist; bei sehr breiten Schlieren treffen beide Strahlen dieselbe Stelle, und der Fehler verschwindet rasch. Mit der Drehung wandern die Schlieren durch den Strahlengang; der Fehler ist daher keine einfache Harmonische, sondern folgt der Verteilung im Glas (Abb. 3 links). Zugleich senkt die Phasenschwankung der Wellenfront innerhalb des Lichtflecks den Interferenzkontrast: Bei 0,1 rad rms Phase sinkt er nur um etwa 0,5 % – weniger bedeutend als der Phasenfehler selbst. Außerdem ändert sich die der Furchentiefe eines Phasengitters entsprechende Phase 2π(n−1)d/λ nur mit der relativen Änderung Δn/(n−1) von etwa 2×10⁻⁵; auf den Wirkungsgrad der nullten Ordnung hat das praktisch keinen Einfluss.

Abb. 3 – Links: Phasendifferenz der beiden Strahlen über der Schlierenperiode bei Δn = 10⁻⁵ (gestrichelt: Obergrenze für Λ_s kleiner als 2s); rechts: aus dem Winkelfehlerbudget zurückgerechnete Obergrenze für Δn Spitze-Tal (ungünstigster Fall, p = 20 μm, r = 20 mm)

Wie man die Homogenitätsanforderung festlegt

Aus dem Verschiebungsbudget x = e·r (e: zulässiger Winkelfehler in rad) und dem ungünstigsten Fall δφ = 2πΔn·t/λ folgt

Δn_max = 2 · e · r · λ / (p · t)

Für e = 0,5″, r = 20 mm und p = 20 μm: t = 1 mm erfordert Δn ≤ 4,1×10⁻⁶, t = 2 mm 2,1×10⁻⁶; bei auf 1″ gelockertem e sind es 8,2×10⁻⁶ bzw. 4,1×10⁻⁶. Die Grenze ist proportional zu e und r und umgekehrt proportional zu p und t: Je feiner die Teilung und je dünner das Glas, desto lockerer die Anforderung. Die Homogenität optischer Werkstoffe wird nach ISO 10110-4 in Klassen eingeteilt; hochwertige Sorten erreichen die Größenordnung 10⁻⁶, gewöhnliches Floatglas garantiert diesen Kennwert in der Regel nicht.

Praxishinweise

Amplitudenbasierte Abtastung (lichtundurchlässige Struktur + Abtastgitter) ist gegenüber Δn unempfindlich; eine eigene Homogenitätsvorgabe ist meist nicht nötig.
Für interferentielle oder phasenbasierte Abtastung mit Δn_max = 2·e·r·λ/(p·t) zurückrechnen und Dicke und Teilungsperiode gemeinsam betrachten.
Am empfindlichsten ist es, wenn der Strahlabstand s der Schlierenperiode vergleichbar ist; feine Schlieren von 0,1–0,5 mm Breite sind gefährlicher als großflächige langsame Änderungen.
Bei der Werkstoffwahl Homogenitätsklasse und Prüfverfahren (Interferometermessung der transmittierten Wellenfront) in die Spezifikation schreiben, nicht nur „optische Qualität“.
So dünn wie möglich: Der Fehler ist proportional zu t; von 2 mm auf 1 mm zu reduzieren lockert die Anforderung um den Faktor zwei.
Liegt die Struktur auf der Austrittsseite, sodass das Licht erst das Glas durchläuft und dann gebeugt wird, trennen sich die beiden Strahlen nicht im Glas, und der Scherfehler sinkt stark – ein mögliches Kriterium für die Konstruktionswahl.

Fazit

Bei Glas mit Δn = 10⁻⁵ entstehen bei 1–2 mm Dicke nur 10–20 nm optische Wegdifferenz – für amplitudenbasierte Abtastung lichtundurchlässiger Strukturen vernachlässigbar. Bei interferentieller Beugungsabtastung durchlaufen die beiden Strahlen verschiedene Stellen; die Phasendifferenz ist auf 2πΔn·t/λ begrenzt, mit den Beispielparametern im ungünstigsten Fall etwa 1–2″, und die daraus zurückgerechnete Homogenitätsanforderung liegt in der Größenordnung 10⁻⁶. Ob die Homogenität eigens spezifiziert werden muss, hängt vom Abtastprinzip ab – nicht davon, ob das Glas durchsichtig aussieht.

Übersetzung des chinesischen Originalartikels (0575). ENC7 – Hersteller von Encoderscheiben (Anfrage) · Fachartikel · https://enc7.com