Atlante dei problemi di segnale
Sintomo: il segnale diventa triangolare e l’ampiezza è bassa – distanza eccessiva e convoluzione con la finestra
Un disco al 50% convoluto con una finestra di rilevamento al 50% dello stesso passo dà un’onda triangolare: le armoniche decadono come 1/n², la terza vale circa l’11% e la decodifica diretta con atan2 dà un errore di interpolazione di circa ±4,1° elettrici. Questo articolo ricava l’effetto dei due tipi di sfocatura – penombra e diffrazione – sull’onda triangolare e sull’ampiezza, propone prove per distinguerli e criteri per modificare il duty cycle della finestra o regolare la distanza.
All’oscilloscopio il canale A non è una sinusoide ma un’onda triangolare con le punte aguzze, e in più l’ampiezza è più bassa del nominale di un buon venti-trenta per cento. La prima reazione di molti è che le due cose si contraddicano: l’onda triangolare richiede una distanza piccola, il calo di ampiezza una distanza grande. In realtà l’onda triangolare nasce dalla convoluzione geometrica tra disco e finestra di rilevamento, mentre il calo di ampiezza nasce dalla sfocatura dovuta alla distanza, e le due cose possono presentarsi insieme; con un disco a passo fine e distanza eccessiva, la terza armonica può addirittura ricrescere per l’autoimmagine in campo vicino. L’articolo ricava prima l’origine dell’onda triangolare, analizza poi i due tipi di sfocatura, penombra e diffrazione, e infine fornisce i metodi per distinguerli e i criteri di intervento.
Origine dell’onda triangolare: convoluzione tra onda quadra e finestra di rilevamento
La trasmittanza del disco è un’onda quadra con duty cycle del 50%; la finestra di rilevamento (reticolo di scansione o elemento del rivelatore) ha un’apertura di larghezza w·p. La luce ricevuta dal rivelatore è l’area di sovrapposizione delle due, che in funzione dello spostamento è la loro convoluzione. Con w = 0,5 l’area di sovrapposizione sale e scende linearmente fra zero e metà dell’area della finestra: si ottiene un’onda triangolare. I suoi coefficienti di Fourier sono il prodotto di due sinc:
c_n ∝ sinc(n/2) · sinc(n·w)
Con w = 0,5 le armoniche dispari rispetto alla fondamentale valgono h_n = 1/n², tutte positive: h3 = 11,1%, h5 = 4,0%, h7 = 2,0%. Risolvendo direttamente con atan2, l’errore di interpolazione di picco è circa 0,071 rad, cioè ±4,1° elettrici, circa 7,2″ con 2048 linee (per la relazione generale fra armoniche ed errore si veda l’articolo «Il cerchio squadrato» di questa serie).
Un altro numero che si confonde facilmente: la fondamentale di un’onda triangolare è solo 8/π² ≈ 0,81 del valore di picco del triangolo. Per un’onda triangolare misurata a 1 Vpp all’oscilloscopio, la componente sinusoidale «vista» dall’interpolatore è solo di circa 0,81 Vpp, per cui un’ampiezza definita dal raggio di Lissajous o dalla fondamentale risulta naturalmente bassa.
Ampiezza bassa: due tipi di sfocatura dovuti alla distanza
Sfocatura geometrica (penombra). Con una zona emittente di larghezza s a distanza L dal disco, la larghezza di sfocatura dell’ombra alla distanza g è b = s·g/L = g·Δα, dove Δα è l’ampiezza angolare dell’illuminazione nella direzione di misura. Un nucleo di sfocatura rettangolare moltiplica l’n-esima armonica per sinc(n·b/p). Per b < p/2 l’onda triangolare convoluta con esso resta rettilinea vicino ai passaggi per lo zero e la pendenza al passaggio per lo zero non cambia; solo le punte vengono smussate in parabole, il picco-picco scende a 1 − b/p e la fondamentale a sinc(b/p) (vedi Figura 1). Con b = p/3 si ha sinc(3b/p) = 0: la terza armonica scompare esattamente e della fondamentale resta circa l’83%.
Diffrazione. Per un disco al 50% l’n-esima armonica è moltiplicata per cos(n²πλg/p²). La fondamentale cala lentamente come cos(πλg/p²), mentre la terza armonica varia 9 volte più in fretta: passa per lo zero e cambia segno a p²/(18λ) e si ripristina completamente a 2p²/(9λ). A quel punto la fondamentale è già scesa a cos(40°) ≈ 0,77. In altre parole, con un disco a passo fine e una distanza troppo grande la forma d’onda torna triangolare mentre l’ampiezza è già calata sensibilmente: è proprio il sintomo del titolo.
Esempio di calcolo (ipotesi p = 20 μm, λ = 0,88 μm, larghezza spettrale 40 nm, ampiezza angolare dell’illuminazione 20 mrad):
| Distanza g | Fondamentale (a contatto = 1) | h3 | Errore di interpolazione |
|---|---|---|---|
| 0 | 1,00 | +11,1% | 4,1° |
| 25 μm | 0,98 | +0,2% | 1,4° |
| 50 μm | 0,94 | −11,4% | 4,8° |
| 75 μm | 0,86 | −0,6% | 2,7° |
| 100 μm | 0,76 | +12,5% | 7,3° |
A g = 100 μm (circa 2p²/(9λ)) la terza armonica è persino maggiore che a contatto, l’errore è circa 7,3°, ma l’ampiezza residua è solo circa il 76%. Portando l’ampiezza angolare dell’illuminazione a 50 mrad, alla stessa distanza h3 scende a circa 4,8%, l’errore a circa 2,7° e la fondamentale a circa 0,69: la forma d’onda diventa un «triangolo a punta arrotondata» (vedi Figura 2).
Con passo grossolano la situazione è opposta. Con p = 50 μm e ampiezza angolare dell’illuminazione di 50 mrad, il fattore di diffrazione resta sopra 0,9 per alcune centinaia di micrometri e la sfocatura viene soprattutto dalla penombra: a g ≈ 333 μm si ha b ≈ p/3, la terza armonica scompare, l’errore è circa 0,5° e la fondamentale circa 0,77. Con passo grossolano l’onda triangolare compare di solito solo a piccola distanza e si arrotonda in modo monotono all’aumentare della distanza.
Distinguere distanza eccessiva e penombra della sorgente
- Scansione fine della distanza osservando h3. Variare la distanza a passi di circa p²/(36λ) (circa 13 μm per p = 20 μm) e fare una FFT: se h3 alterna il segno con periodo di circa 2p²/(9λ) è diffrazione; se cala in modo monotono e passa per lo zero vicino a g·Δα ≈ p/3 è penombra.
- Cambiare lunghezza d’onda. Montare un LED rosso (tutto il resto invariato): le caratteristiche di diffrazione si spostano con λ, la penombra no.
- Cambiare le dimensioni della sorgente. Mettere un diaframma a fenditura stretta davanti al LED o arretrare il LED: la penombra si riduce di conseguenza, la diffrazione non ne risente.
- Osservare i dettagli della forma d’onda. Il picco-picco cala ma la pendenza al passaggio per lo zero resta invariata e le punte diventano archi: tipo penombra. Anche la pendenza al passaggio per lo zero varia con la distanza e creste piatte si alternano a punte: tipo diffrazione.
- Osservare lo zero della curva ampiezza–distanza. Il primo zero della diffrazione è a p²/(2λ) (circa 227 μm per p = 20 μm), quello della penombra a p/Δα (circa 1 mm a 20 mrad).
Criteri di intervento: modificare la finestra o regolare la distanza
- Ampiezza sufficiente, errore elevato (onda triangolare a piccola distanza): modificare il duty cycle della finestra di rilevamento. A contatto w = 1/3 elimina la terza armonica, ma la quinta resta a circa −4% e l’errore è circa 3,4°; con w ≈ 0,29 l’errore è minimo, circa 1,8°. Il prezzo è che la fondamentale cala come sin(πw): circa il 13% in meno con w = 1/3 (vedi Figura 3). In presenza di sfocatura da distanza il duty cycle di errore minimo si sposta e va ricalcolato per la distanza reale; soluzioni più radicali sono il filtraggio spaziale a più finestre o la linearizzazione dell’onda triangolare nell’algoritmo (vedi l’articolo correlato).
- Ampiezza bassa e forma d’onda triangolare (passo fine, distanza eccessiva): riportare la distanza nel campo in cui il fattore della fondamentale è ≥ 0,9, cioè g ≤ circa 0,14·p²/λ (circa 64 μm per p = 20 μm), evitando la zona di ricomparsa della terza armonica intorno a 2p²/(9λ).
- Passo grossolano, sorgente estesa: si può collocare intenzionalmente la distanza di lavoro vicino a g·Δα ≈ p/3, usando la penombra come filtro passa-basso e scambiando circa il 17% della fondamentale con una forma d’onda quasi sinusoidale.
Punti chiave
- Disco al 50% con finestra di rilevamento al 50%: a contatto si ottiene un’onda triangolare, h_n = 1/n², errore circa ±4,1° elettrici.
- La fondamentale di un’onda triangolare è solo 0,81 del picco; valutare l’ampiezza con il picco-picco o con il raggio di Lissajous dà valori che differiscono di circa il 19%.
- La sfocatura di tipo penombra conserva la pendenza al passaggio per lo zero, il picco-picco cala come 1 − b/p; con b = p/3 la terza armonica è nulla.
- Con passo fine la terza armonica si ripresenta a 2p²/(9λ), quando della fondamentale resta solo circa 0,77; «onda triangolare + ampiezza bassa» è il segnale di una distanza eccessiva.
- Tre prove – scansione fine della distanza, cambio di lunghezza d’onda e aggiunta di un diaframma – separano diffrazione e penombra.
- Per problemi di errore intervenire prima sul duty cycle della finestra o sul filtraggio spaziale, per problemi di ampiezza prima riportare la distanza; verificare entrambi insieme con lo stesso modello.
Sintesi
L’onda triangolare è il risultato diretto della convoluzione tra l’onda quadra del disco e una finestra di rilevamento dello stesso passo; l’ampiezza bassa viene da penombra e diffrazione dovute alla distanza. Con passo grossolano prevale la penombra e l’onda triangolare si arrotonda in modo monotono con la distanza; con passo fine la diffrazione fa ricomparire la terza armonica a 2p²/(9λ) e si ha il sintomo «onda triangolare e ampiezza bassa». Prima si separano le cause con scansione fine della distanza, cambio di lunghezza d’onda e modifica delle dimensioni della sorgente, poi si decide se cambiare il duty cycle della finestra di rilevamento o regolare la distanza.
Traduzione dell’articolo originale cinese (0229). ENC7 – produttore di dischi encoder (richiesta) · Articoli tecnici · https://enc7.com
© Langfang Jingzheng Optoelectronic Technology Co., Ltd. Tutti i diritti riservati. Articolo realizzato con l’assistenza dell’IA.