Espansione anisotropa dei substrati cristallini: come l’espansione in piano diseguale produce un errore angolare del 2° ordine

I substrati monocristallini hanno coefficienti di dilatazione lineare diversi lungo gli assi cristallini. Quando l’espansione in piano sulla faccia del wafer è diseguale, le linee radiali si deflettono a un angolo 2×. Questo articolo deriva l’ampiezza d’errore Δα·sin²ν·ΔT/2, calcola circa 5″ per il piano A dello zaffiro e circa 31″ per i tagli X/Y del quarzo (ΔT = 50 K, parametri di esempio) e indica rimedi di orientamento, disposizione delle testine e compensazione di temperatura.

Il vetro amorfo si dilata in modo isotropo: un aumento di temperatura ingrandisce solo leggermente il disco e lascia invariate le posizioni angolari delle linee radiali. Con un substrato monocristallino (zaffiro, quarzo cristallino) il quadro cambia: il coefficiente di dilatazione lineare varia con la direzione, così un wafer i cui due assi in piano si dilatano in modo diseguale trasforma un cerchio in ellisse al riscaldamento e le radiali si deflettono con esso. L’errore compare due volte per giro, è indipendente dal raggio di lettura e le testine diametrali opposte non lo annullano. Questo articolo porta l’effetto dal tensore di dilatazione termica fino ai secondi d’arco e risponde a due domande ingegneristiche: quali tagli sono sicuri e come sopprimere il resto.

Modello: dal tensore di dilatazione all’errore angolare del 2° ordine

Per i sistemi trigonali, esagonali e tetragonali (tra cui zaffiro e α-quarzo) il coefficiente di dilatazione lineare ha solo due valori indipendenti: α∥ lungo l’asse ottico (asse c) e α⊥ perpendicolare a esso. Per una direzione arbitraria all’angolo χ rispetto all’asse c:

α(χ) = α⊥ + (α∥ − α⊥)·cos²χ = α⊥ + Δα·cos²χ

dove Δα = α∥ − α⊥. Quando la normale al wafer forma un angolo ν con l’asse c, la faccia ha due assi principali: uno lungo la proiezione in piano dell’asse c (a 90° − ν dall’asse c), con dilatazione α⊥ + Δα·sin²ν; l’altro perpendicolare all’asse c, con dilatazione semplicemente α⊥. La differenza in piano è

Δα_eff = Δα·sin²ν

È 0 per il piano C (ν = 0), Δα per il piano A (ν = 90°) e 0,713·Δα per il piano R (normale a circa 57,6° dall’asse c). Il silicio cubico non ha questo problema: il suo tensore di dilatazione termica è isotropo (l’anisotropia elastica è un’altra questione).

Si supponga che le linee siano scritte come radiali ideali a T₀. Dopo un aumento ΔT le deformazioni principali sono ε_x = α_x·ΔT e ε_y = α_y·ΔT. Un punto (r·cosφ, r·sinφ) a posizione angolare φ negli assi del cristallo si sposta in (r(1+ε_x)cosφ, r(1+ε_y)sinφ), e lo scostamento angolare soddisfa

tan(φ + δ) = (1+ε_y)/(1+ε_x)·tanφ, δ ≈ (ε_y − ε_x)/2 · sin2φ

Ampiezza d’errore

A₂ = Δα_eff·ΔT / 2

dove φ si misura dall’asse x. Ne seguono tre proprietà: indipendenza dal raggio r; la parte isotropa della dilatazione uniforme scompare del tutto; la deflessione è massima a φ = 45°. Con testina fissa e un giro del disco, φ spazza 360° e l’errore mostra due periodi (Figura 1, destra). La stessa forma compare sui dischi in film plastico stirato (vedi un altro articolo di questa libreria); per i cristalli l’anisotropia viene dal reticolo e cambia poco da lotto a lotto.

Esempio numerico: differenza di temperatura di 50 K

Si prenda ΔT = 50 K (rispetto alla temperatura di scrittura). I valori di letteratura di Δα dello zaffiro sono dell’ordine di 1 ppm/K, ma il numero esatto, il segno e persino la dipendenza dalla temperatura discordano tra le fonti; la tabella sotto usa tre livelli di esempio 0,5, 1,0 e 1,6 ppm/K. Per l’α-quarzo, α∥ è circa 7,1–7,5 e α⊥ circa 13,2–13,7 ppm/K, quindi Δα è circa 6 ppm/K (il segno è indipendente dallo zaffiro e sposta solo la fase).

Per il piano A con Δα = 1,0 ppm/K: Δε = 1,0×10⁻⁶ × 50 = 50 ppm, A₂ = 25×10⁻⁶ rad × 206265 ≈ 5,2″. La valutazione numerica diretta dell’arctan esatto dà 5,157″; l’approssimazione di piccolo angolo sbaglia di meno di tre parti su diecimila. Su un disco a 2048 linee un periodo di segnale è circa 632,8″, quindi 5,2″ è lo 0,8% di un periodo; i 31″ del taglio X/Y del quarzo sono quasi il 5% di un periodo e non sono trascurabili dove serve alta interpolazione. Viceversa, per mantenere l’errore del 2° ordine entro 1″ l’escursione di temperatura ammessa è

ΔT_max = 2·e_max / Δα_eff

Con e_max = 1″ = 4,85 μrad, lo zaffiro piano A (Δα = 1,0) ammette circa 9,7 K, il piano R circa 13,6 K e il taglio X/Y del quarzo solo circa 1,6 K.

Rimedi: orientamento, testine e compensazione di temperatura

1. Preferire il piano C (zaffiro) o il taglio Z (quarzo). Con l’asse ottico normale al disco la faccia è isotropa e il termine del 2° ordine è nullo. Con errore di taglio γ, la differenza in piano Δα·sin²γ cade al quadrato: a γ = 1° è solo 3×10⁻⁴ di Δα; per zaffiro Δα = 1,0 ppm/K e ΔT = 50 K, γ = 5° dà ancora solo circa 0,04″, e il quarzo taglio Z a γ = 5° circa 0,24″ (Figura 3, sinistra). La tolleranza di taglio del piano C può quindi essere allentata al livello del grado; non serve pagare di più per questo.

2. Disporre le testine per armonica. La media di N segnali di testina lascia una frazione residua |Σe^(ikφ_j)|/N della k-esima armonica. Testine diametrali (180°) annullano la 1ª (eccentricità) ma trattengono del tutto la 2ª; due testine a 90° annullano esattamente la 2ª lasciando 0,707 della 1ª; quattro testine equispaziate annullano entrambe (Figura 3, destra). Se si deve usare un piano A o R, adottare disposizione a 90° o a quattro testine, oppure accettare le ampiezze della tabella sull’intervallo di temperatura.

3. Compensazione di temperatura. A₂ = Δα_eff·(T − T₀)/2 è legato agli assi del cristallo: la fase è fissata dall’orientamento dell’asse rispetto alla testina, l’ampiezza è proporzionale alla differenza di temperatura dalla scrittura. Registrare la direzione dell’asse in taratura di fabbrica, misurare la temperatura in servizio: quei due parametri danno la correzione. In raffreddamento l’ampiezza inverte il segno.

4. Altre differenze. I wafer di piano A e R sono birifrangenti (zaffiro Δn circa 0,008; 1 mm di spessore vicino a 850 nm dà circa 9 lunghezze d’onda di ritardo), quindi una lettura sensibile alla polarizzazione va verificata; sul piano C la luce viaggia lungo l’asse c e non produce birifrangenza a incidenza normale.

Note ingegneristiche

• Errore di anisotropia in piano A₂ = Δα·sin²ν·ΔT/2, indipendente dal raggio di lettura; invertire ΔT_max = 2·e_max/Δα_eff per l’escursione di temperatura ammessa.
• Preferire lo zaffiro piano C; entro 5° di errore di taglio Δα_eff si riduce di più di due ordini di grandezza. Usare piano A o R solo con motivo chiaro.
• Preferire il quarzo taglio Z; i tagli X/Y hanno Δα circa 6 ppm/K e circa 31″ di errore a 50 K — inadatti all’alta interpolazione.
• Né una sola testina né le testine diametrali sopprimono la 2ª armonica; usare 90° o quattro testine equispaziate se serve.
• Magnitudine e segno di Δα dello zaffiro variano secondo le fonti; prima della scelta chiedere al fornitore dati di dilatazione misurati, oppure tarare la 2ª armonica con un ciclo termico.
• Nella validazione a ciclo termico, scomporre in Fourier l’errore a cerchio pieno e osservare la 2ª componente versus temperatura separata dalla 1ª (eccentricità).

Sintesi

La dilatazione termica di un substrato monocristallino è descritta da un tensore del secondo rango. Quando i due coefficienti principali di dilatazione in piano differiscono, un aumento di temperatura produce un errore angolare due volte per giro, indipendente dal raggio, di ampiezza Δα_eff·ΔT/2. Piano C dello zaffiro e taglio Z del quarzo sono isotropi in piano e sono le scelte appropriate; piano A, piano R o tagli X/Y del quarzo vanno gestiti con disposizione delle testine, controllo di temperatura e compensazione.

Traduzione dell’articolo originale cinese (0571). ENC7 – produttore di dischi encoder (richiesta) · Articoli tecnici · https://enc7.com

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