Rigidezza specifica e scelta del substrato: freccia e frequenza naturale di dischi di uguale dimensione in materiali diversi

Per dischi di uguale dimensione la prima frequenza naturale scala come √(E/ρ), e la freccia di peso proprio soddisfa w ≈ 1,2g/(2πf₁)², indipendente dal materiale. Con la soluzione esatta della piastra anulare questo articolo calcola f₁ e l’abbassamento per sei substrati (esempio Ø200 mm, 2 mm), confronta spessore e massa a frequenza uguale e dà criteri di scelta per dischi di grande diametro.

Una volta che i dischi diventano più grandi e sottili, se la faccia si piega o vibra conta quanto la precisione delle linee: le testine riflessive e a piccolo gap sono sensibili alla posizione assiale della faccia, quindi abbassamento di peso proprio e vibrazione diventano variazioni di gap. Un consiglio comune è «passare a un materiale più rigido», ma i moduli di Young di vetro, zaffiro e silicio differiscono per fattori, e anche le densità — quale grandezza guardare? Questo articolo chiarisce freccia e frequenza naturale con un modello di piastra anulare. Conta una sola grandezza: la rigidezza specifica E/ρ, e freccia e frequenza sono due enunciati della stessa cosa.

Figura 1 – Sei dischi di substrato Ø200 mm, spessore 2 mm: a sinistra, vista laterale del primo modo (ampiezza esagerata, velocità di rotazione scalata su f1); a destra, prima frequenza e freccia di peso proprio al crescere della rigidezza specifica (parametri di esempio, soluzione esatta di piastra anulare)

Modello: due formule e un’identità

Il disco è bloccato su un mozzo. Lo si tratta come piastra anulare sottile con bordo interno (raggio di bloccaggio a) fisso e bordo esterno (raggio R) libero, spessore t. Rigidezza flessionale

D = E·t³ / [12(1 − ν²)]

Prima frequenza naturale

f₁ = λ² / (2πR²) · √(D / ρt) = λ² / (2πR²·√(12(1 − ν²))) · t · √(E/ρ)

dove λ² è il coefficiente di frequenza dalla soluzione esatta in funzioni di Bessel: 4,80 a ν = 0,2, a/R = 0,2, e 5,59 a a/R = 0,25. Il modo più basso è una forma a bilanciere con 1 diametro nodale, inferiore del 2%–6% al modo ad ombrello assialsimmetrico. Con la faccia orizzontale sotto il solo peso proprio ρg·t, l’abbassamento al bordo esterno è

w = α·ρg·t·R⁴ / D = 12α(1 − ν²)·g·R⁴·ρ / (E·t²)

α dipende solo dalla geometria: circa 0,054 a a/R = 0,2, circa 0,043 a 0,25. Confrontando le due formule: f₁ ∝ (t/R²)·√(E/ρ), w ∝ (R⁴/t²)·ρ/E; il materiale entra solo tramite E/ρ (e una correzione 1 − ν² vicina a 1). Combinandole:

w ≈ κ·g / (2π·f₁)², κ ≈ 1,2–1,4

κ è fissato dalla geometria ed è indipendente dal materiale. La freccia di peso proprio è semplicemente «g diviso il quadrato della pulsazione»: un disco a f₁ = 240 Hz si abbassa di circa 5,4 μm, a 100 Hz di circa 31 μm. Quindi non trattare freccia e frequenza come due metriche — conoscere f₁ dà l’abbassamento di peso proprio (Figura 3, sinistra: tutti i punti cadono su una retta).

Esempio numerico: Ø200 mm, spessore 2 mm

Si assumano diametro esterno 200 mm, raggio di bloccaggio 20 mm, spessore 2 mm, faccia orizzontale. I materiali prendono valori tipici (zaffiro di ordine asse-a, anisotropia circa ±10%; silicio monocristallino il valore medio di 130–169 GPa; vetro alcali-free come ordine di grandezza):

Materiale	E (GPa)	ρ (g/cm³)	E/ρ (MJ/kg)	f₁ (Hz)	Freccia di peso proprio al bordo (μm)
Vetro sodico-calcico	70	2,50	28,0	239	5,4
Vetro borosilicato	63	2,23	28,3	239	5,4
Vetro alcali-free	74	2,38	31,1	253	4,8
Silice fusa	72	2,20	32,7	256	4,8
Silicio monocristallino	150	2,33	64,4	366	2,3
Zaffiro	345	3,98	86,7	427	1,7

Tra i quattro vetri E/ρ differisce solo di circa il 20%, f₁ di circa il 7%; passare dal sodico-calcico alla silice fusa non guadagna quasi rigidezza. Zaffiro e silicio hanno E/ρ da 2 a 3 volte quello del vetro, f₁ sale di 1,5–1,8× e l’abbassamento scende a circa 0,3–0,4×.

Le leggi di scala contano di più: raddoppiare il diametro esterno taglia f₁ a 1/4 e moltiplica l’abbassamento per 16; raddoppiare lo spessore raddoppia f₁ e taglia l’abbassamento a 1/4. Lo stesso disco di borosilicato a Ø200 mm, 1 mm di spessore ha solo circa 120 Hz e circa 22 μm di freccia; a Ø80 mm, 1 mm (raggio di bloccaggio 10 mm), f₁ è circa 870 Hz e la freccia solo 0,44 μm — i dischi piccoli non danno preoccupazioni.

Progetto a frequenza uguale: lo zaffiro diventa più sottile, ma non più leggero

Si richieda f₁ ≥ 500 Hz e si invertisca per lo spessore:

t_min = 2πR²·f₁ / λ² · √(12(1 − ν²)ρ / E)

A Ø200 mm, borosilicato e sodico-calcico servono circa 4,2 mm, silice fusa circa 3,9 mm, silicio circa 2,7 mm, zaffiro circa 2,3 mm (Figura 2). Massa ∝ ρ·t ∝ ρ^1,5/√E; rispetto al borosilicato: zaffiro circa 1,00, silice fusa 0,92, silicio 0,68, sodico-calcico 1,12. Lo zaffiro è più sottile ma più denso, quindi a frequenza uguale non è più leggero e l’inerzia rotante non migliora; il silicio è più leggero di circa tre decimi ma quasi opaco a 850–950 nm nel vicino IR, utilizzabile solo per pattern riflessivi o a fessura (vedi un altro articolo di questa libreria).

Figura 2 – Spessore minimo versus diametro esterno a requisito di prima frequenza fisso: t ∝ R²; le curve si dividono in bande vetro, silicio e zaffiro per rigidezza specifica

Oltre la rigidezza specifica: raggio di bloccaggio e velocità

Raggio di bloccaggio. Alzare a/R da 0,2 a 0,4 porta λ² da 4,80 a 9,07, quasi raddoppia f₁, abbassa α da 0,054 a 0,018 e taglia la freccia a circa un terzo. Allargare il raggio dell’anello di incollaggio del mozzo costa meno che ispessire il disco o cambiare materiale — purché le tracce di lettura non siano bloccate dal mozzo.

Velocità di rotazione. Lo stress centrifugo scala come ρω²R², indipendente da E. In approssimazione di foro libero, il borosilicato Ø200 mm a 6000 r/min ha circa 7 MPa di tensione circonferenziale al bordo del foro, circa 79 MPa a 20000 r/min (esclusi stress di montaggio e di colla). Quindi a velocità bassa-media il limite di scelta è rigidezza e vibrazione; solo ad alta velocità entrano in gioco resistenza specifica e difetti di bordo. Inoltre tenere la frequenza di rotazione e le sue basse armoniche lontane da f₁; la rotazione spezza ulteriormente i modi a diametro nodale nel sistema di laboratorio, da verificare con un modello di disco rotante.

Figura 3 – Sinistra: punti di materiali e spessori diversi cadono su una retta w–f₁; destra: spessore e massa relativi a comuni 500 Hz

Note ingegneristiche

Calcolare prima f₁, poi stimare la freccia di peso proprio con w ≈ 1,2g/(2πf₁)²; solo con faccia orizzontale e tolleranza di gap entro alcune decine di micrometri serve un controllo.
Non cambiare tra vetri per la rigidezza: E/ρ differisce solo di circa il 20%. Alzare f₁ ispessendo (f₁ ∝ t), riducendo il diametro esterno (∝ 1/R²) o allargando il raggio di bloccaggio.
Calcolare davvero f₁ per dischi di vetro grandi e sottili: stesso borosilicato, Ø150 mm × 3 mm circa 640 Hz, Ø200 mm × 2 mm solo circa 240 Hz.
I confronti a frequenza uguale devono guardare massa e inerzia, non solo lo spessore: zaffiro più sottile non significa più leggero.
E di zaffiro e silicio variano con la direzione cristallina; i numeri in tabella sono ordini di grandezza — chiedere al fornitore orientamento e modulo misurato prima di congelare il progetto.
La f₁ reale dipende dalla rigidezza dell’anello di colla ed è inferiore al bloccaggio ideale; validare sui campioni con tap o vibrometria laser.

Sintesi

Per dischi di uguale dimensione la prima frequenza naturale scala con √(E/ρ) e la freccia di peso proprio con ρ/E, e w ≈ κg/(2πf₁)² unisce le due in un solo fatto. Le differenze di rigidezza specifica tra i vetri sono piccole, quindi la scelta del materiale porta poco cambiamento; zaffiro e silicio possono alzare f₁ di circa 1,5–1,8×, ma lo zaffiro non riduce la massa e il silicio è limitato dall’opacità nel vicino IR. La rigidezza dei dischi di grande diametro si ottiene soprattutto da spessore, diametro esterno e raggio di bloccaggio.

Traduzione dell’articolo originale cinese (0572). ENC7 – produttore di dischi encoder (richiesta) · Articoli tecnici · https://enc7.com