Disomogeneità ottica del vetro: come strie e fluttuazioni dell’indice di rifrazione influenzano la lettura in fase

Le fluttuazioni dell’indice di rifrazione Δn del vetro introducono nella luce trasmessa una differenza di cammino ottico OPD = Δn·t. Con Δn = 10⁻⁵ e spessore 1–2 mm sono appena 10–20 nm, trascurabili per la lettura ad ampiezza; nella lettura interferenziale a diffrazione i due fasci attraversano punti diversi e acquisiscono una differenza di fase, nel caso peggiore circa 1–2″ (esempio). L’articolo ricava il requisito di omogeneità.

«Trasparenza» e «omogeneità» del vetro sono due cose diverse: un vetro che non assorbe affatto la luce può comunque presentare al suo interno fluttuazioni dell’indice di rifrazione di 10⁻⁵ o più, dovute a composizione non uniforme in fusione (sotto forma di strie), a un campo di temperatura non uniforme in ricottura e a tensioni. L’idea tradizionale è che «questo riguarda solo l’ottica di formazione d’immagine, il disco encoder non se ne deve preoccupare». Per i motivi opachi è sostanzialmente vero, ma non appena la lettura dipende dalla fase della luce la situazione cambia. L’articolo calcola prima la differenza di cammino ottico e la distorsione del fronte d’onda, poi esamina separatamente gli effetti sulla lettura ad ampiezza e su quella interferenziale a diffrazione, e infine risale dal budget di errore angolare al requisito di omogeneità.

Figura 1 – Fronte d’onda piano distorto da un vetro con strie (ingrandito 25 volte): Δn da 0 a 1×10⁻⁵ (picco-valle), poi spessore da 1 mm a 2 mm, infine Δn a 2×10⁻⁵; a destra la distribuzione laterale della differenza di cammino ottico (forma delle strie d’esempio)

Modello: differenza di cammino ottico e fronte d’onda

La luce attraversi nello spessore un vetro di spessore t, con indice di rifrazione variabile con la posizione laterale y secondo n(y) = n₀ + Δn(y). La differenza di cammino ottico e la fase in ogni punto del fronte d’onda sono

OPD(y) = Δn(y) · t, φ(y) = 2π · OPD(y) / λ

dove Δn è il valore picco-valle e λ la lunghezza d’onda. Con Δn = 10⁻⁵ e λ = 850 nm:

t = 1 mm: OPD = 10 nm, circa λ/85, fase picco-valle 4,2°;
t = 2 mm: OPD = 20 nm, circa λ/43, fase picco-valle 8,5°.

Per confronto, λ/4 vale 212 nm. Una traslazione uniforme dell’intero fronte d’onda non influisce sulla lettura; conta solo la sua variazione laterale: la pendenza del fronte d’onda dOPD/dy devia i raggi e la differenza di OPD fra due punti ne rende diversa la fase (Figura 2).

Figura 2 – Differenza di cammino ottico in funzione della fluttuazione d’indice Δn e dello spessore; i punti rossi indicano vetro da 1 mm e 2 mm con Δn = 1×10⁻⁵

Lettura ad ampiezza: deviazione minima

Le strie variano in modo cosinusoidale con periodo Λ_s e ampiezza Δn/2; la deviazione massima del raggio è allora πΔn·t/Λ_s. Con Λ_s = 0,1 mm, t = 1 mm e Δn = 10⁻⁵ la deviazione è 3,1×10⁻⁴ rad (circa 65″). Con il motivo sulla faccia d’ingresso e una distanza g = 0,1 mm fra la faccia d’uscita del vetro e il reticolo di scansione, l’immagine si sposta di 31 nm, solo lo 0,16% di un passo di 20 μm, pari a circa 0,3″ a r = 20 mm; con Λ_s = 1 mm sono appena 3 nm. Il contrasto chiaro/scuro non ne risente, quindi un Δn dell’ordine di 10⁻⁵ è trascurabile per la lettura ad ampiezza.

Lettura interferenziale a diffrazione: i due fasci vedono vetro diverso

La lettura a diffrazione si basa sulla ricombinazione dei fasci di ordine ±1. Per un reticolo di passo p l’angolo di diffrazione nel vetro è sinθ_g = λ/(n·p) e, dopo lo spessore t, i due fasci distano

s = 2t · tanθ_g

Con p = 20 μm, n = 1,51 e λ = 0,85 μm si ha sinθ_g = 0,028; s = 56 μm per t = 1 mm e 113 μm per t = 2 mm. Poiché i due fasci attraversano punti diversi, la differenza di fase dipende solo dalla differenza del vetro in quei due punti:

δφ = (2π/λ) · Δn · t · |sin(πs/Λ_s)|

Il caso peggiore è un periodo delle strie Λ_s = 2s, per cui δφ = 2πΔn·t/λ (cioè la fase picco-valle vista sopra). La differenza di fase fra i due fasci equivale a uno spostamento del reticolo x = δφ·p/(4π), convertito in angolo come x/r. Esempio di calcolo (Δn = 10⁻⁵, p = 20 μm, r = 20 mm, esempio):

Spessore	Caso peggiore (Λ_s = 2s)	Λ_s = 1 mm	Λ_s = 10 mm
1 mm	4,2°, 1,2″	0,75°, 0,21″	0,07°, 0,02″
2 mm	8,5°, 2,4″	2,9°, 0,84″	0,30°, 0,09″

L’effetto è massimo quando il periodo delle strie è paragonabile alla distanza fra i fasci; con strie molto larghe i due fasci cadono nello stesso punto e l’errore scompare rapidamente. Con la rotazione le strie attraversano il percorso ottico, perciò l’errore non è una semplice armonica ma segue la distribuzione nel vetro (Figura 3 a sinistra). Inoltre la variazione di fase del fronte d’onda entro lo spot riduce il contrasto d’interferenza: con fase rms di 0,1 rad cala solo di circa lo 0,5%, effetto secondario rispetto all’errore di fase stesso. Infine la fase corrispondente alla profondità del solco di un reticolo di fase, 2π(n−1)d/λ, varia solo con la variazione relativa di n, Δn/(n−1), circa 2×10⁻⁵, e non ha quasi alcun effetto sull’efficienza dell’ordine zero.

Figura 3 – A sinistra: differenza di fase fra i due fasci in funzione del periodo delle strie con Δn = 10⁻⁵ (tratteggio: limite superiore per Λ_s inferiore a 2s); a destra: limite superiore di Δn picco-valle ricavato dal budget di errore angolare (caso peggiore, p = 20 μm, r = 20 mm)

Come fissare il requisito di omogeneità

Dal budget di spostamento x = e·r (e errore angolare ammesso, in radianti) e dal caso peggiore δφ = 2πΔn·t/λ si ottiene

Δn_max = 2 · e · r · λ / (p · t)

Con e = 0,5″, r = 20 mm e p = 20 μm: per t = 1 mm serve Δn ≤ 4,1×10⁻⁶, per t = 2 mm 2,1×10⁻⁶; allentando e a 1″ si ottengono rispettivamente 8,2×10⁻⁶ e 4,1×10⁻⁶. Il limite è proporzionale a e e r e inversamente proporzionale a p e t: più fine il passo e più sottile il vetro, più largo il requisito. L’omogeneità dei materiali ottici è classificata secondo ISO 10110-4; i tipi di classe alta raggiungono l’ordine di 10⁻⁶, mentre il comune vetro float in genere non garantisce questo parametro.

Indicazioni pratiche

La lettura ad ampiezza (motivo opaco + reticolo di scansione) è insensibile a Δn; di norma non occorre specificare l’omogeneità a parte.
Per la lettura interferenziale a diffrazione o in fase, risalire con Δn_max = 2·e·r·λ/(p·t), considerando insieme spessore e passo.
La sensibilità è massima quando la distanza s fra i fasci è paragonabile al periodo delle strie; strie sottili larghe 0,1–0,5 mm sono più pericolose di variazioni lente su grande area.
Nella scelta del materiale indicare in specifica la classe di omogeneità e il metodo di prova (misura interferometrica del fronte d’onda trasmesso), non solo «qualità ottica».
Più sottile possibile: l’errore è proporzionale a t, passando da 2 mm a 1 mm il requisito si allenta di un fattore due.
Con il motivo sulla faccia d’uscita, in modo che la luce attraversi prima il vetro e poi venga diffratta, i due fasci non si separano nel vetro e l’errore di shear si riduce molto: può essere un criterio per la scelta costruttiva.

Sintesi

Con Δn = 10⁻⁵ un vetro di 1–2 mm produce solo 10–20 nm di differenza di cammino ottico, trascurabili per la lettura ad ampiezza di motivi opachi. Nella lettura interferenziale a diffrazione i due fasci attraversano punti diversi; la differenza di fase è limitata a 2πΔn·t/λ, nel caso peggiore circa 1–2″ con i parametri d’esempio, e il requisito di omogeneità che ne deriva è dell’ordine di 10⁻⁶. Se occorra specificare l’omogeneità dipende dal principio di lettura, non dall’aspetto trasparente del vetro.

Traduzione dell’articolo originale cinese (0575). ENC7 – produttore di dischi encoder (richiesta) · Articoli tecnici · https://enc7.com