加速寿命試験：Arrheniusモデルで寿命を推定する

エンコーダは十年の寿命を要求されるが、試験は数千時間しかできない。本稿は反応速度から加速係数の式を導き、LEDと接着剤の計算例で活性化エネルギーの影響の大きさを示し、模擬の三温度試験で外挿寿命の信頼区間を示し、モデルが崩れる典型例を列挙する。

エンコーダ内のLED光出力は時間とともに減衰し、コード板とハブの間の接着剤も劣化する。十年の連続運転（約8.8×10⁴ h）が求められると、実時間でそれだけの試験はできない。通例は温度を上げて劣化を加速し、モデルで試験時間を使用条件へ換算する。その換算係数がどれほどか、信頼できるかは、Arrheniusモデルの理解に依存する。

反応速度から加速係数へ

多くの劣化過程（拡散、酸化、化学反応）の速度は次の形に従う。

R = A·exp(−Ea / (k·T))

ここでEaは活性化エネルギー（eV）、k = 8.617×10⁻⁵ eV/Kはボルツマン定数、Tは熱力学温度（K）、Aは温度に依らない定数である。

劣化量Dの変化を dD/dt = R(T)·g(D) と書き、gが劣化曲線の形を表すとする。故障判定D_fまで積分すると G(D_f) = R·t_f となり、故障時間t_fは速度に反比例する。gが温度で変わらない限り、使用温度T_uと試験温度T_sでの故障時間の比は

AF = t_u / t_s = exp[(Ea/k)·(1/T_u − 1/T_s)]

重要な帰結がある。温度は時間軸を一定倍率で圧縮するだけだ。したがって対数時間軸上では、異なる温度の故障分布は形を変えずに平行移動するはずであり（図1）、対数正規やWeibullで記述するときσや形状パラメータは同じであるべきだ。これが「機構が変わっていない」ことの第一関門である。

数値例：LEDと接着剤

LED、使用40 ℃、試験85 ℃、Ea = 0.7 eV（仮定）：

1/T_u − 1/T_s = 1/313.15 − 1/358.15 = 4.012×10⁻⁴ K⁻¹ Ea/k = 0.7 / 8.617×10⁻⁵ = 8123 K AF = exp(8123 × 4.012×10⁻⁴) = exp(3.259) ≈ 26.0

つまり85 ℃で1000 hは、40 ℃で約2.6×10⁴ hに相当する。

活性化エネルギーの影響は極めて大きい（図2）。同じ40→85 ℃で、Ea = 0.3、0.5、0.7、0.9、1.1 eVのときAFはそれぞれ4.0、10.3、26.0、66.1、168。Eaが0.2 eV違うとAFは約2.5倍変わる。

温度は故障部位の実温度を取る必要がある。LED消費30 mW、ジャンクション–周囲熱抵抗300 K/Wとすると、ジャンクションは周囲より約9 K高い。ジャンクション温度49 ℃と94 ℃で計算するとAF ≈ 22.0；周囲温度をそのまま使うとAFを約18 %過大評価する。

接着剤、使用60 ℃、試験105 ℃：Ea = 0.6、0.8、1.0 eV（仮定）のときAF = 12.0、27.6、63.1。さらに加速しようと試験温度を125 ℃へ上げるとAFは30~295になり得る。しかしその接着剤のガラス転移温度Tgが約110 ℃（仮定）なら、125 ℃ではガラス状態からゴム状態へ移り、クリープ・吸湿・反応経路が変わり得るため、このAF群は意味を失う。

活性化エネルギーはどこから来るか

Eaはある具体的な故障機構のパラメータであり、材料定数でもデバイス定数でもない。出典は三つある。

• 同一機構の文献・業界データ。電子デバイスの一般的な機構ではEaはおおむね零点数eVから1 eV強のオーダー；
• 同じ故障判定での部品・材料サプライヤの試験データ；
• 自前の多温度試験。二温度なら Ea = k·ln(t₁/t₂) / (1/T₁ − 1/T₂)。

データが無いとき0.7 eVを既定に取ることが多いが、それは取り決めに過ぎない。Eaを過大評価するとAFも寿命も過大評価し、結論は危険側に偏る。

図3は模擬の三温度試験である。真値Ea = 0.70 eV、50 ℃の中央寿命10×10⁴ h、対数正規σ = 0.5、85・105・125 ℃で各10個のLED、故障判定は光出力70 %まで。データがモデルどおりに生成されていても、フィッティングはEa = 0.78 eV（90 %区間0.67~0.88 eV）、外挿した50 ℃中央寿命は14.4×10⁴ h、90 %区間は約8.9×10⁴~23.5×10⁴ hとなる。外挿が遠いほど区間は広がる。

モデルが崩れるとき

• 機構が温度で変わる：接着剤のTg超え、LED封止材の耐温超えで、使用条件には無い故障が現れる。
• 複数機構が併存：Ea = 0.4と1.0 eVの二機構があるとき、高温試験は高Ea機構を主に増幅し、使用温度では低Ea機構が先に起き得る——試験がそれを覆い隠す。
• 温度以外の応力：湿度にはPeck型の等温湿度モデル、温度サイクルにはCoffin-Manson関係が必要で、LED駆動電流自体も光減衰に影響する。
• 打ち切りデータ：試験は一部試料の故障で終わることが多い。打ち切りを扱える最尤法を用い、既故障試料の単純平均にしてはならない。

工学上の要点

• 温度はすべてケルビンに換算し、故障部位温度を使う。LEDはジャンクション温度、接着層は実測温度。自己発熱9 KでもAFは約18 %ずれる。
• 少なくとも三温度を行い、各温度の分布形状パラメータが一致するか確認する。不一致は機構変化を意味し、外挿できない。
• 最高試験温度は材料限界より余裕を見て下げる。接着剤はTg未満、LEDは許容ジャンクション温度未満。
• 信頼できるEaが無いときは低めに取り、報告書に出典を書く。Eaを0.2 eV過大に見ると、85 ℃試験からの寿命換算は約2.5倍過大になる。
• 故障判定はエンコーダ機能で定義する。例：自動利得が補償できない程度まで光出力が落ちた、信号振幅が下限を下回った、など。一律の「70 %」ではない。
• 寿命報告は信頼区間と外挿距離を付け、単一値にしない。

まとめ

Arrhenius加速の本質は、温度が時間軸を一定倍率で圧縮することであり、AF = exp[(Ea/k)·(1/T_u − 1/T_s)]である。その信頼性はほぼすべて、Eaが実在する単一故障機構に対応し、高温でも機構が変わらないかにかかっている。多温度試験で形状の一貫性を確かめ、信頼区間を出すことで、加速試験の結論は支えられる。

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