症状：信号が三角波になり振幅も低い――ギャップ過大と検出窓の畳み込み

50% のコード板と同じピッチの 50% 検出窓を畳み込むと三角波になり、高調波は 1/n² で減衰し、第3高調波は約 11%、そのまま atan2 で解くと内挿誤差は電気角で約 ±4.1° になります。本記事では半影と回折という二つのぼけが三角波と振幅に与える影響を導き、両者を見分ける試験と、検出窓のデューティ比を変えるかギャップを調整するかの判断基準を示します。

オシロスコープで見ると A相が正弦波ではなく、頂点のとがった三角波になっていて、しかも振幅が公称値より二、三割低い。多くの人はまず、二つの現象は矛盾すると考えます。三角波はギャップが小さいときに出るもので、振幅低下はギャップが大きいときに起きるはずだ、と。実際には、三角波はコード板と検出窓の幾何学的な畳み込みから生じ、振幅低下はギャップによるぼけから生じるので、両者は同時に起こり得ます。ピッチの細かいコード板でギャップが大きすぎると、近接場の自己結像によって第3高調波がふたたび大きくなることさえあります。本記事ではまず三角波の由来を導き、次に半影と回折の二種類のぼけを解析し、最後に見分け方と改善の判断基準を示します。

三角波の由来：矩形波と検出窓の畳み込み

コード板の透過率はデューティ比 50% の矩形波で、検出窓（インデックススケールまたは受光セル）の開口幅は w·p です。受光素子が受け取る光は両者の重なり面積であり、変位の関数としては両者の畳み込みになります。w = 0.5 のとき、重なり面積はゼロと窓面積の半分の間を直線的に増減し、三角波になります。そのフーリエ係数は二つの sinc の積です。

c_n ∝ sinc(n/2) · sinc(n·w)

w = 0.5 のとき、奇数次高調波の基本波に対する比は h_n = 1/n² で、すべて正です：h3 = 11.1%、h5 = 4.0%、h7 = 2.0%。そのまま atan2 で解くと内挿誤差のピークは約 0.071 rad、すなわち電気角 ±4.1°、2048 本では約 7.2″ です（高調波と誤差の一般的な関係は本シリーズの「方円」の記事を参照）。

もう一つ混同しやすい数字があります。三角波の基本波振幅は三角波のピーク値の 8/π² ≈ 0.81 しかありません。オシロスコープで 1 Vp-p と測った三角波でも、内挿器が「見ている」正弦成分は約 0.81 Vp-p にすぎず、リサージュ半径や基本波で定義した振幅は当然低く出ます。

振幅が低い：ギャップによる二種類のぼけ

幾何学的ぼけ（半影）。 発光領域の幅が s、コード板からの距離が L のとき、ギャップ g における影のぼけ幅は b = s·g/L = g·Δα で、Δα は測定方向の照明角幅です。矩形のぼけカーネルは第 n 次高調波に sinc(n·b/p) を掛けます。b < p/2 では、これと畳み込んだ三角波はゼロクロス付近でなお直線で、ゼロクロスの傾きは変わりません。頂点だけが放物線状にならされ、ピーク・ツー・ピーク値は 1 − b/p に、基本波は sinc(b/p) に低下します（図1参照）。b = p/3 では sinc(3b/p) = 0 となり、第3高調波はちょうど消え、基本波は約 83% 残ります。

回折。 50% のコード板では、第 n 次高調波に cos(n²πλg/p²) が掛かります。基本波は cos(πλg/p²) でゆっくり低下しますが、第3高調波は 9 倍速く変化し、p²/(18λ) でゼロを横切って符号が反転し、2p²/(9λ) で完全に元に戻ります。そのとき基本波はすでに cos(40°) ≈ 0.77 まで下がっています。つまり、ピッチの細かいコード板でギャップが大きすぎると、波形はふたたび三角波になり、しかも振幅ははっきり下がっている――これがタイトルの症状です。

計算例（p = 20 μm、λ = 0.88 μm、スペクトル幅 40 nm、照明角幅 20 mrad と仮定）：

g = 100 μm（約 2p²/(9λ)）では第3高調波が密着時よりも大きく、誤差は約 7.3° ですが、振幅は約 76% しか残っていません。照明角幅を 50 mrad に広げると、同じギャップで h3 は約 4.8%、誤差は約 2.7° に下がり、基本波は約 0.69 に低下して、波形は「頭の丸い三角波」になります（図2参照）。

ピッチが粗い場合は逆です。p = 50 μm、照明角幅 50 mrad では、回折係数は数百マイクロメートルにわたって 0.9 以上を保ち、ぼけは主に半影によります。g ≈ 333 μm で b ≈ p/3 となり、第3高調波が消え、誤差は約 0.5°、基本波は約 0.77 です。粗いピッチの三角波はふつう小さいギャップでしか現れず、ギャップを広げると単調に丸くなります。

ギャップ過大と光源の半影を見分ける

1. ギャップを細かく掃引して h3 を見る。 約 p²/(36λ)（p = 20 μm で約 13 μm）刻みでギャップを変えて FFT をとります。h3 が周期約 2p²/(9λ) で正負に交替すれば回折、単調に減少して g·Δα ≈ p/3 付近でゼロを横切れば半影です。
2. 波長を変える。 赤色 LED に替えます（ほかは同じ）。回折による特徴の位置は λ に応じて動き、半影は変わりません。
3. 光源サイズを変える。 LED の前に細いスリット絞りを入れるか、LED を後ろに下げます。半影はそれに応じて小さくなり、回折は影響を受けません。
4. 波形の細部を見る。 ピーク・ツー・ピーク値が下がってもゼロクロスの傾きが変わらず、頂点が円弧になるなら半影型。ゼロクロスの傾きもギャップとともに変わり、平らな頂部ととがった頂点が交互に現れるなら回折型です。
5. 振幅–ギャップ曲線のゼロ点を見る。 回折の最初のゼロ点は p²/(2λ)（p = 20 μm で約 227 μm）、半影のゼロ点は p/Δα（20 mrad で約 1 mm）にあります。

改善の判断基準：窓を変えるかギャップを調整するか

• 振幅は十分だが誤差が大きい（小ギャップでの三角波）：検出窓のデューティ比を変えます。密着時は w = 1/3 で第3高調波が消えますが、第5高調波はなお約 −4% で、誤差は約 3.4° です。w ≈ 0.29 で誤差は最小の約 1.8° になります。代償として基本波は sin(πw) で低下し、w = 1/3 で約 13% 減ります（図3参照）。ギャップによるぼけがあると誤差最小のデューティ比は移動するため、実際のギャップで計算し直す必要があります。より根本的には、複数窓による空間フィルタリングや、アルゴリズムで三角波を線形化する方法があります（関連記事参照）。
• 振幅が低く、波形も三角（細かいピッチでギャップ過大）：ギャップを基本波係数 ≥ 0.9 の範囲、すなわち g ≤ 約 0.14·p²/λ（p = 20 μm で約 64 μm）に戻し、2p²/(9λ) 付近の第3高調波再現域を避けます。
• 粗いピッチ、広がった光源：動作ギャップをあえて g·Δα ≈ p/3 付近に置き、半影をローパスフィルタとして使って、約 17% の基本波と引き換えにほぼ正弦波の波形を得ることもできます。

技術ポイント

• 50% のコード板に 50% の検出窓を組み合わせると、密着時は三角波になる：h_n = 1/n²、誤差は電気角で約 ±4.1°。
• 三角波の基本波はピーク値の 0.81 しかなく、ピーク・ツー・ピーク値で評価した振幅とリサージュ半径で評価した振幅は約 19% 異なる。
• 半影型のぼけはゼロクロスの傾きを保ち、ピーク・ツー・ピーク値は 1 − b/p で低下する。b = p/3 で第3高調波はゼロ。
• 細かいピッチでは第3高調波が 2p²/(9λ) で再現し、そのとき基本波は約 0.77 しか残らない。「三角波＋低振幅」はギャップ過大のサイン。
• ギャップの細かい掃引、波長の変更、絞りの追加という三つの試験で回折と半影を分けられる。
• 誤差の問題はまず検出窓のデューティ比か空間フィルタリングで、振幅の問題はまずギャップを戻して対処する。両者は同じモデルでまとめて検算する。

まとめ

三角波はコード板の矩形波と同じピッチの検出窓の畳み込みの直接の結果であり、振幅の低下はギャップによる半影と回折から生じます。粗いピッチではぼけは主に半影で、三角波はギャップとともに単調に丸くなります。細かいピッチでは回折によって第3高調波が 2p²/(9λ) で再現し、「三角波なのに振幅が低い」という症状が現れます。まずギャップの細かい掃引、波長の変更、光源サイズの変更で原因を切り分け、そのうえで検出窓のデューティ比を変えるか、ギャップを調整するかを決めます。

中国語原文記事の翻訳 (0229). ENC7 コード板メーカー（お問い合わせ） · 技術記事 · https://enc7.com

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