コード板リファレンス設計
バーニヤトラックのスリット数の組合せ：主トラック・バーニヤトラックと公差配分表
バーニヤの原理と許容限界は本ライブラリの別記事で扱っている。本記事は設計手順を示す：絶対分解能から主トラックのスリット数を選び、N − 1またはN − 2^kの組合せを選び、各段の判定量の重みを書き出し、±½の余裕を内挿、偏心、ノイズに配分し、r = 10–40 mmの六つの組合せについて許容内挿誤差、ノイズ、偏心を一覧にする。
バーニヤ式アブソリュートエンコーダは、スリット数がわずかに異なる複数の正弦波/余弦波トラックを使い、位相差のうなりから絶対位置を得る。原理と「位相誤差がどこまで大きくなると周期を飛ぶか」は既に別記事で扱った（本ライブラリのバーニヤ符号化と許容限界の二記事を参照）。コード板を描く段階では、問題は具体的な設計上の選択になる：主トラックを何本にするか、どのバーニヤトラックを組み合わせるか、トラックをどの順に並べるか、偏心と内挿誤差にそれぞれどれだけ割り当てられるか。本記事はこれらの手順をつなぎ、最後にr = 10–40 mmの組合せと公差の表を示す。
第一段階：絶対分解能から主トラックのスリット数を選ぶ
バーニヤ式エンコーダの最終的な分解能と精度はいずれも主トラックから来る：一回転あたりのカウント数＝N×分割数であり、主トラックの内挿誤差はそのまま精度に入る。主トラックのスリット数Nは三つの制約で挟まれる：
- 分解能：N ≥ 2^B / k_max。Bは目標ビット数、k_maxはS/N比が許す分割数；
- ピッチ：p = 2πr/Nが読取り方式の要求する下限を下回らないこと；
- バーニヤ判定：Nが大きいほど判定は難しくなる（後述）。
例えばr = 20 mm、目標2²¹カウント（約0.62″）、分割数1024とすると、主トラックN = 2048、ピッチ61.4 μmとなる。
第二段階：組合せを選び、判定の重みを書き出す
各トラックの位相誤差をe_i（そのトラックの周期単位）とする。各段の解算は、一回転あたりP_a周期のうなり信号から一回転あたりP_b = R·P_a周期の信号へ進む。判定量の偏差は各トラック誤差の線形結合ΔD = Σ a_i·e_iで、確実な解算には|ΔD| < ½が必要である。よく使う組合せの重み：
| 組合せ | 各段の拡大率 R | 各段の重み a_i | 最大 Σ|a_i| |
|---|---|---|---|
| 二トラック N、N − 1 | N | (N − 1, −N) | 2N − 1 |
| 三トラック N、N − 1、N − S | S、N/S | (S − 1, −S, 1)；(N/S − 1, 0, −N/S) | max(2S, 2N/S − 1) |
| 四トラック N、N − 1、N − S₁、N − S₂ | S₁、S₂/S₁、N/S₂ | 同様に段ごとに書き出す | 約 2 × 最大段比 |
Sを2^kにとるのは、各段の周期比を整数にするためである。三トラックではS ≈ √Nが最も均衡し、例えばN = 1024ではS = 32とし、二段とも32倍に拡大する。N = 2048ではS = 32または64で、最大段比は64。四トラックなら各段を16倍以内に抑えられる。2016や1984のようなバーニヤトラックのスリット数は2のべき乗である必要はなく、その位相だけを使う。
第三段階：±½の余裕を配分する
各段は次を満たす必要がある
Σ|a_i|·ε + ΔD_ecc + 6.1·σ·√(Σa_i²) + ΔD_other ≤ ½
ここでεは各トラックの内挿誤差の上限（周期単位、最悪の符号で加算）、σは各トラックの位相ノイズ、6.1σは一回の周期飛びの確率約10⁻⁹に相当し、ΔD_otherはサンプリング時間差、目盛誤差、温度ドリフトを含む。配分例：内挿40%、偏心20%、ノイズ30%、その他10%。
偏心は各トラックに角度誤差(e/r_i)·sin(θ + α)を生じ、位相誤差はe_i = N_i·e/(2π·r_i)となる。共通部分は判定で打ち消され、残るのは
ΔD_ecc = (e/2π)·|Σ a_i·N_i / r_i|
これはトラック間隔に比例し、r²に反比例する。サンプリング時間差も同じ種類に属する：三トラック2048/2047/2016の第二段で、トラック間のサンプリング時間差が100 nsのとき、回転速度が約230 r/minを超えると10%の余裕を使い切る。したがってバーニヤ解算は静止時または低速時に行うか、各トラックを同時にサンプル・ホールドするのがよい。
第四段階：トラック順序
主トラックは最外周に置く。ピッチが最も大きく、偏心による角度誤差が最も小さいからである。残りのトラックの順序はΔD_eccに影響する：拡大率の大きい段が使うトラックを主トラックのすぐ隣に置くべきである。r = 20 mm、トラック間隔0.8 mmの2048/2047/2016を例にとると、第二段は64倍に拡大し、2016トラックを使う。2016を主トラックの内側一本目に置くと許容偏心は2.24 μm、2047を一本目に置くと約1.1 μmしかない。各トラックは同一のフォトマスク上で形成され、トラック間の同心度はマスクで保証される。三トラックのピッチはそれぞれ約61.4、59.8、56.5 μmで、読取りヘッドのインデックススケールはそれぞれのピッチに合わせて設計する。
公差配分表
上記の配分、トラック間隔0.8 mm、許容偏心が最大となるトラック順序で計算した（許容偏心の半径による変化は図2左）：
| 組合せ | 各トラックの内挿誤差 ε | 各トラックのノイズ σ | 許容偏心 r = 10 / 20 / 30 / 40 mm |
|---|---|---|---|
| 二トラック 256/255 | 0.14° | 0.024° | 1.1 / 4.6 / 10.5 / 18.9 μm |
| 三トラック 1024/1023/992 | 1.12° | 0.20° | 1.0 / 4.5 / 10.5 / 19.0 μm |
| 三トラック 2048/2047/2016 | 0.57° | 0.10° | 0.5 / 2.2 / 5.2 / 9.4 μm |
| 四トラック 2048/2047/2040/1920 | 2.25° | 0.40° | 1.1 / 4.7 / 10.9 / 19.6 μm |
| 三トラック 4096/4095/4032 | 0.56° | 0.10° | 0.13 / 0.56 / 1.3 / 2.3 μm |
| 四トラック 4096/4095/4080/3840 | 2.25° | 0.40° | 0.32 / 1.5 / 3.5 / 6.4 μm |
（ε、σは電気角。主トラックのピッチ：1024本 r = 10 mmで61.4 μm、2048本 r = 20 mmで61.4 μm、4096本 r = 40 mmで61.4 μm。）
いくつかの結論：二トラック256/255の許容偏心は三トラック1024と同程度だが、内挿誤差は0.14°しか許されず、後者より8倍厳しい。1%のDCオフセットは約0.57°の内挿誤差をもたらし、三トラック2048方式の内挿予算をちょうど使い切る。四トラックにして初めて余裕が残る。4096本の主トラックに三トラック組合せを使うと、r = 20 mmでの許容偏心は約0.56 μmしかなく、組立てで実現するのは難しい。四トラックにするか半径を大きくするのがよい。
設計のポイント
- 主トラックが分解能と精度を決め、バーニヤトラックは判定余裕を消費するだけ：まずピッチと分割数から主トラックのNを決め、次に組合せを選ぶ。
- 二トラック組合せはNが約256以内の場合にのみ適する：Σ|a| = 2N − 1で、N = 256では各トラックの内挿誤差を電気角約0.14°未満にする必要がある。
- 三トラックではSを√Nに近い2のべき乗にとる。N ≥ 2048では四トラックを検討し、各段の拡大を約16倍以内にすれば、各トラックの許容内挿誤差は約2.25°まで広がる。
- 偏心項(e/2π)·|Σ a_i·N_i/r_i|はトラック間隔に比例する。拡大率の大きい段が使うトラックを主トラックのすぐ隣に置くと、例では許容偏心が倍になる。
- バーニヤ解算は静止時または低速時に行うか、各トラックを同時にサンプリングする：三トラック2048方式では、100 nsのサンプリング時間差で約230 r/minで10%の余裕を使い切る。
- 表の配分比率は一例である。実際には内挿回路の誤差・ノイズの実測値と組立て偏心の能力に応じて配分し直し、少なくとも10%の余裕を残す。
まとめ
バーニヤコード板の設計順序は次のとおり：分解能とピッチから主トラックを決め、Nの大きさに応じて二トラック、三トラック、四トラックの組合せを選び、各段の判定の重みを書き出し、±½の余裕を内挿誤差、偏心、ノイズ、サンプリング時間差に配分し、トラック順序とトラック間隔で偏心項を圧縮する。主トラックのスリット数が大きいほど、内挿誤差と組立て偏心を実現可能な範囲に収めるためにバーニヤを一段増やす必要がある。
中国語原文記事の翻訳 (0305). ENC7 コード板メーカー（お問い合わせ） · 技術記事 · https://enc7.com
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