比剛性と基材選択：同寸法コード板の材料別たわみと固有振動数

同寸法コード板の一次固有振動数は √(E/ρ) に比例し、自重たわみは w ≈ 1.2g/(2πf₁)² を満たし材料に依らない。本記事は環状板の厳密解で 六種基材（例 Ø200 mm、2 mm）の f₁ と垂下量を求め、同周波数での厚さと質量を比較し、大径コード板の材料選定根拠を示す。

コード板を大きく薄くすると、面が沈むか揺れるかは刻線精度と同じくらい重要になる。反射式や小ギャップ読取りヘッドは面の軸方向位置に敏感で、自重垂下と振動はいずれも読取りギャップの変化になる。「剛性の高い材料に換えよ」とはよく言われるが、ガラス・サファイア・シリコンの弾性率は数倍違い密度も異なる。結局どの量を見るべきか。本記事は環状板モデルでたわみと固有振動数を整理する。効く量は比剛性 E/ρ ただ一つであり、たわみと周波数は同じ事実の二つの言い方である。

モデル：二つの式と一つの等式

コード板はハブにクランプされる。内縁（クランプ半径 a）固定・外縁（半径 R）自由の薄い環状板、厚さ t として扱う。曲げ剛性

D = E·t³ / [12(1 − ν²)]

一次固有振動数は

f₁ = λ² / (2πR²) · √(D / ρt) = λ² / (2πR²·√(12(1 − ν²))) · t · √(E/ρ)

ここで λ² はベッセル関数の厳密解による周波数係数で、ν = 0.2・a/R = 0.2 のとき 4.80、a/R = 0.25 のとき 5.59。最低次は節直径 1 本の揺動型で、軸対称の傘型より 2%–6% 低い。面を水平にし自重 ρg·t だけのとき外縁垂下は

w = α·ρg·t·R⁴ / D = 12α(1 − ν²)·g·R⁴·ρ / (E·t²)

α は幾何のみ：a/R = 0.2 で約 0.054、0.25 で約 0.043。二式を比べると f₁ ∝ (t/R²)·√(E/ρ)、w ∝ (R⁴/t²)·ρ/E で、材料は E/ρ（と 1 に近い 1 − ν² 補正）だけを通る。さらにまとめると

w ≈ κ·g / (2π·f₁)², κ ≈ 1.2–1.4

κ は幾何で決まり材料に依らない。自重たわみは「重力加速度を角周波数の二乗で割ったもの」にすぎない。f₁ = 240 Hz の板は約 5.4 μm、100 Hz なら約 31 μm 沈む。よってたわみと周波数を 二指標に分けず、f₁ が分かれば自重垂下が分かる（図3左、すべての点が同一線上）。

数値例：Ø200 mm、厚さ 2 mm

外径 200 mm、クランプ半径 20 mm、厚さ 2 mm、面水平とする。材料は典型値（サファイアは a 軸オーダ・異方性約 ±10%、単結晶シリコンは 130–169 GPa の中間、無アルカリガラスはオーダ）。

四種ガラスの E/ρ 差は約 20%、f₁ 差は約 7% で、ソーダライムから石英ガラスへ換えても剛性はほとんど得られない。サファイアとシリコンの E/ρ はガラスの 2–3 倍、f₁ は 1.5–1.8 倍に上がり垂下は約 0.3–0.4 倍に下がる。

スケール則の方が重要である。外径を二倍にすると f₁ は 1/4、垂下は 16 倍。厚さを二倍にすると f₁ は二倍、垂下は 1/4。同じホウケイ酸でも Ø200 mm・1 mm 厚なら約 120 Hz・約 22 μm、Ø80 mm・1 mm 厚（クランプ半径 10 mm）なら f₁ 約 870 Hz・垂下 0.44 μm で、小径では心配する必要がない。

同周波数設計：サファイアは薄くなるが軽くならない

要求を f₁ ≥ 500 Hz とし厚さを逆算する。

t_min = 2πR²·f₁ / λ² · √(12(1 − ν²)ρ / E)

Ø200 mm ではホウケイ酸・ソーダライム約 4.2 mm、石英ガラス約 3.9 mm、シリコン約 2.7 mm、サファイア約 2.3 mm（図2）。質量 ∝ ρ·t ∝ ρ^1.5/√E、ホウケイ酸相対でサファイア約 1.00、石英ガラス 0.92、シリコン 0.68、ソーダライム 1.12。サファイアは薄いが密度が大きく同周波数では軽くならず慣性モーメントも改善しない。シリコンは約三割軽いが 850–950 nm 近赤外でほぼ不透明で、反射式またはスリット式パターンにしか使えない（本ライブラリ別記事参照）。

比剛性の外：クランプ半径と回転数

クランプ半径。 a/R を 0.2 から 0.4 に上げると λ² は 4.80 から 9.07 へ、f₁ はほぼ二倍、α は 0.054 から 0.018 へ下がり垂下は約三分の一。ハブ接着環半径を広げる方が板を厚くしたり材料を換えるより安く、読取りトラックがハブで隠れないことが条件である。

回転数。 遠心応力は ρω²R² に比例し E に依らない。自由内孔近似でホウケイ酸 Ø200 mm・6000 r/min の孔縁円周応力は約 7 MPa、20000 r/min で約 79 MPa（組立・接着応力除く）。中低速では剛性と振動が材料選定を縛り、高速になって初めて比強度と縁欠陥が主役になる。また回転周波数とその低次高調波を f₁ から離し、回転は実験室座標で節直径モードを分裂させるため回転板モデルで別途確認する。

工学ポイント

• まず f₁ を求め、w ≈ 1.2g/(2πf₁)² で自重垂下を見積もる。面が水平でギャップ公差が数十 μm 以内のときだけ要確認。
• ガラス同士で剛性のために材料を換えない。E/ρ 差は約 20%。f₁ を上げるには厚くする（f₁ ∝ t）、外径を小さくする（∝ 1/R²）、クランプ半径を広げる。
• 大きく薄いガラス板は実際に f₁ を計算する。同じホウケイ酸で Ø150 mm×3 mm は約 640 Hz、Ø200 mm×2 mm は約 240 Hz。
• 同周波数比較は質量と慣性を見よ。厚さだけでは足りない。サファイアが薄くなっても軽くはならない。
• サファイアとシリコンの E は結晶方位で変わる。表の数字はオーダ。確定前に供給元へ方位と実測弾性率を求める。
• 実 f₁ は接着環剛性に依り理想固定より低い。試料で打撃またはレーザ振動計測で検証する。

まとめ

同寸法コード板の一次固有振動数は √(E/ρ) に、自重たわみは ρ/E に比例し、w ≈ κg/(2πf₁)² が両者を一つの事実につなぐ。ガラス同士の比剛性差は小さく材料選択ではほとんど変わらない。サファイアとシリコンは f₁ を約 1.5–1.8 倍に上げられるが、サファイアは軽くならずシリコンは近赤外不透明に制約される。大径コード板の剛性は主に厚さ・外径・クランプ半径で得る。

中国語原文記事の翻訳 (0572). ENC7 コード板メーカー（お問い合わせ） · 技術記事 · https://enc7.com

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