ガラスと基板の科学
ガラス表面粗さと散乱：数ナノメートルの Ra が透過信号に与える影響
透過面の全積分散乱は TIS ≈ (2π(n−1)σ/λ)²：850 nm で σ = 0.5、2、10 nm のとき片面はわずか 0.00036%、0.0057%、0.14%。本記事は角度分布モデルを示し、位相格子・成膜・反射界面の感度を比べ、散乱予算から研磨等級を逆算する。
ガラス基板の研磨要求はしばしば「Ra ≤ 数ナノメートル」と書かれ、等級とともに価格が急上昇する。しかしコード板の読取り光波長は 850 nm である。数ナノメートルの表面起伏は透過信号からどれだけ光を奪い、その光はどこへ行くのか。本記事は位相スクリーンモデルで散乱損失と角度分布を求め、どの工程が本当に超平滑面を必要とするかを見たうえで、散乱予算から粗さを逆算する方法を示す。
モデル：表面高さは位相になる
光がガラス（屈折率 n）から空気へ出るとき、表面高さ差 h ごとに光路差は (n−1)·h。位相揺らぎの分散は
g = [2π(n − 1)σ / λ]²
ここで σ は表面 rms 粗さ、λ は波長。鏡面透過光はコヒーレント重ね合わせで exp(−g) 減衰し、残りが散乱され、全積分散乱は
TIS = 1 − exp(−g) ≈ g（g ≪ 1）
反射界面——例えばガラス内側から金属膜へ——では光路差は 2nh で TIS ≈ (4πnσ/λ)²。位相係数は透過面の 2n/(n−1) ≈ 6 倍、TIS は約 35 倍で、反射面は粗さに遥かに敏感である。
散乱光の角度分布は相関長 ℓ が決める。ガウス相関で g ≪ 1 のとき拡散散乱は exp[−(πℓ·sinθ/λ)²] 近似：ℓ = 1.5 μm、λ = 0.85 μm で 1/e 半値幅約 10°、形は σ に依らず σ は全体の高低だけを変える。g が 1 に近づく（σ 約 100–300 nm の研削面）と顕著に広がり鏡面成分が急速に消える（図1右半）。ここでの σ は空間波長が λ より長い帯域の粗さで、AFM 小視野と光学プロファイラの σ は直接交換できない。
数値例：0.5、2、10 nm
λ = 850 nm、n = 1.51 で σ と散乱の対応は次のとおり（ガウス面で Ra = 0.8σ）。
| σ（nm） | Ra（nm） | 片面 TIS | 両面 TIS | ガラス/金属界面 TIS |
|---|---|---|---|---|
| 0.5 | 0.4 | 0.00036% | 0.00071% | 0.012% |
| 2 | 1.6 | 0.0057% | 0.011% | 0.20% |
| 10 | 8 | 0.14% | 0.28% | 4.9% |
| 20 | 16 | 0.57% | 1.1% | 18% |
| 50 | 40 | 3.5% | 6.9% | 71% |
| 100 | 80 | 13% | 25% | 99% |
| 300 | 240 | 72% | 92% | ほぼ全部 |
TIS は σ² に比例し、σ が 3 倍になると散乱は約 10 倍；λ² に反比例し、633 nm で見るヘイズは 850 nm 実散乱の約 1.8 倍（図3右）。10 nm 以内では透過信号への影響はガラスのフレネル反射（両面約 8%）より遥かに小さく、散乱光も約 ±10° 以内に集中する（本例の相関長）。読取りヘッド受光角がそれより広ければ実損失はさらに小さい。
どの工程が粗さに敏感か
振幅型透過読取り。 明暗はクロム膜が担い、粗さは百分の一未満の全体減衰にとどまり明暗が同じ比で変わり変調度は不変。数ナノメートルと零点数ナノメートルでは信号上の差はない。
位相格子。 π 位相深さ d = λ/(2(n−1)) ≈ 833 nm。σ = 10 nm で粗さ起因の位相誤差 2π(n−1)σ/λ ≈ 0.038 rad、零次増加は約 g/4 ≈ 3.6×10⁻⁴ で無視できるが、0.14% の散乱背景は零次と迷光に直接重なる。零次＋迷光合計予算を 1%（例）にすると、すでに一割超を食う。
成膜面と反射界面。 クロム膜厚約 100 nm に対し σ = 10 nm の起伏は膜厚の十分の一で局所膜厚と OD が揺れる。ガラス内側から金属膜を照らす構造では 10 nm で約 5% が散乱され、1% 予算なら σ ≈ 4.5 nm、0.1% 予算なら約 1.4 nm までしか許されない。
密着露光。 σ = 10 nm の峰谷は約 50 nm、接触ギャップによる回折ぼけは約 √(λ_expo·g) ≈ 0.14 μm（λ_expo = 365 nm、g = 50 nm）で線幅より遥かに小さい。露光品質を縛るのは平面度と粒子であり、nm 級粗さではない。
rms で表せない欠陥。 傷・ピット・サブサーフェス・クラックは局所欠陥で、σ が小さくても多数ありうる。ピンホール・断線・膜剥がれの源であり、研磨等級には表面欠点等級も併記する。
散乱予算から σ を逆算
許容散乱予算 B、両面が同じとき
σ_max = λ / [2π(n − 1)] · √[−ln(1 − B) / 2]
B = 0.1% で σ_max ≈ 5.9 nm（Ra 約 4.7 nm）、B = 1% で約 18.8 nm（Ra 約 15 nm）。片面だけ粗いときはそれぞれ 8.4 nm と 26.6 nm（図3左）。
工学ポイント
- 振幅型透過コード板の光路面は σ ≤ 20 nm（Ra 約 15 nm、両面 TIS 約 1%）で足り、Ra < 1 nm を追っても信号に利はない。
- 位相格子・干渉式読取り・高精度成膜面は σ ≤ 2–5 nm とし、スクラッチ/ディグ等級も同時に制限する。
- 反射構造（ガラス内側から金属膜）の許容 σ は透過面の約六分の一。別に予算を組む。
- 外径・内孔・非光路面は研削でよく研磨不要。フロート原面はすでにサブ nm～約 1 nm 級。
- 粗さ受入では測定法・視野・フィルタ帯域を明記。633 nm 目視ヘイズは 850 nm 散乱を過大評価する。
- 研削面（Ra 0.1 μm 以上）を光路に使うと片面だけで光の一割超が散乱される。使用前に研磨する。
まとめ
透過面の散乱損失は σ² に比例し λ² に反比例する。850 nm で 10 nm 以内なら片面損失は 0.14% 以内で振幅型コード板信号には無視できる。本当に超平滑が要るのは位相格子・反射界面・高精度成膜で、傷やピットなど局所欠陥の管理も併せて行う。研磨等級は散乱予算と工程ごとに立て、一律に最高等級を追わない。
中国語原文記事の翻訳 (0574). ENC7 コード板メーカー（お問い合わせ） · 技術記事 · https://enc7.com
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