신호 문제 사례집
증상: 회전 속도가 올라가면 리사주가 원에서 기울어진 타원으로 변한다 – 두 채널의 대역폭 불일치
리사주 도형이 저속에서는 원이지만 회전 속도가 오를수록 기울어진 타원으로 변한다면 대개 A·B 채널의 대역폭이 다르기 때문이다. 500 kHz와 450 kHz일 때 200 kHz에서의 위상차는 약 2.2°이다. 이 글은 위상차와 진폭비의 주파수 특성을 유도하고, 채널 지연·샘플링 지연과 구별하는 방법, 회전 속도 단계 측정과 정지 상태 광변조 스윕에 의한 측정 방법, 그리고 대역폭 매칭 공차를 제시한다.
시험대에서 저속으로 교정할 때는 모든 것이 정상이고 리사주 도형은 교과서처럼 원이다. 그런데 엔코더를 모터에 장착해 분당 오륙천 회전까지 올리면 같은 리드헤드의 리사주가 기울어진 타원이 되고 보간 오차도 커지며, 모터를 멈추면 다시 정상으로 돌아온다. 이처럼 “고속에서만 나타나는” 위상 오차의 가장 흔한 원인은 A·B 두 아날로그 채널의 대역폭 불일치이다. 이 글에서는 그 주파수 특성을 유도하고, 채널 지연 및 샘플링 지연과의 구별법, 측정 방법, 두 대역폭을 어느 정도까지 맞춰야 하는지를 설명한다. 대역폭 자체가 포토다이오드 정전용량과 트랜스임피던스에 의해 어떻게 결정되는지는 자료실의 포토다이오드 정전용량과 대역폭 글을 참고하라.
모델: 위상차와 진폭비의 주파수 특성
각 채널의 프런트엔드를 일차 로우패스 H = 1/(1 + j·f/f_c)로 근사하고, A·B 채널의 차단 주파수를 각각 f_A, f_B라 한다. 두 채널의 위상 지연 차와 진폭비는 다음과 같다.
Δφ = arctan(f/f_B) − arctan(f/f_A)
ρ = A_B/A_A = √(1 + (f/f_A)²) / √(1 + (f/f_B)²)
여기서 f = N·n/60은 신호 주파수, N은 선 수, n은 회전 속도(r/min)이다. f_A = 500 kHz, f_B = 450 kHz, f = 200 kHz일 때 두 채널의 지연은 각각 21.80°와 23.96°이고 차는 2.16°, 진폭비는 0.984이다.
이 식에서 기억해 둘 세 가지 특징이 있다.
- 저주파에서는 고정 시간차처럼 보인다. f가 차단 주파수보다 훨씬 낮으면 Δφ ≈ 360°·f·Δτ, Δτ = (1/f_B − 1/f_A)/(2π)이며, 예에서는 35 ns이다.
- 위상차에는 피크가 있다. f = √(f_A·f_B) ≈ 474 kHz에서 최대가 되며 Δφ_max = arctan[(f_A − f_B)/(2√(f_A·f_B))] ≈ 3.0°이고, 그 이상에서는 다시 감소한다.
- 진폭차는 단조 증가한다. 저주파에서는 f²에 비례해 커지고, 고주파에서는 1 − f_B/f_A = 10%에 접근한다.
위상차는 타원을 45° 방향으로 기울이고 진폭차는 축 방향으로 납작하게 만든다. 둘 다 한 주기에 두 번 반복되는 보간 오차를 만들며, 그 진폭은 약 ½·√(Δφ² + δ²)이다(δ = 1 − ρ, 모두 라디안). 이 밖에 Δφ/2의 고정 오프셋이 있으며, 이는 회전 속도에 따라 변하는 위치 지연으로 나타난다. 2048선으로 환산하면(전기각 1 rad ≈ 100.7″):
| f | 2048선 회전 속도 | Δφ | 진폭차 δ | 보간 오차 |
|---|---|---|---|---|
| 50 kHz | 1465 r/min | 0.63° | 0.1% | 0.56″ |
| 100 kHz | 2930 r/min | 1.22° | 0.5% | 1.09″ |
| 200 kHz | 5859 r/min | 2.16° | 1.6% | 2.06″ |
| 300 kHz | 8789 r/min | 2.73° | 3.0% | 2.82″ |
앞의 세 행에서는 오차가 주파수에 거의 비례한다. “회전 속도가 오를수록 나빠지는” 현상은 여기서 온다. atan2로 직접 시뮬레이션하면 200 kHz에서의 오차 진폭은 0.0205 rad로, 근사식과 일치한다.
다른 “회전 속도에 따라 변하는” 원인과의 구별
회전 속도에 의존하는 위상 오차의 원인은 하나가 아니며, 각각 주파수 특성이 다르다(그림 2 참조).
| 원인 | Δφ의 f 의존성 | 진폭비의 f 의존성 | 오실로스코프 아날로그 리사주 |
|---|---|---|---|
| 두 채널의 대역폭 차이 | 처음엔 선형 증가, √(f_A·f_B)에서 피크 후 감소 | f²부터 감소 | 기울어지고 납작한 타원 |
| 채널 지연 Δt(필터 군지연, 비교기, 배선) | 360°·f·Δt, 계속 선형 증가 | 변화 없음 | 기울어진 타원 |
| 정적 위상 오차(리드헤드 방위각, 수광 영역 배치) | 회전 속도와 무관 | 변화 없음 | 저속에서도 기울어진 타원 |
| 디지털 측 A·B 시분할 샘플링 | 360°·f·Δt_s | 변화 없음 | 원 그대로 |
마지막 항목은 놓치기 쉽다. 하나의 ADC가 A와 B를 번갈아 샘플링하면 샘플링 간격 Δt_s가 디지털 영역에서 위상차를 만든다. 오실로스코프로 보는 아날로그 신호는 완전히 정상이지만 보간 오차는 회전 속도에 따라 선형으로 커진다. 따라서 첫 단계는 “아날로그 리사주"와 “디지털 해석 오차"가 일치하는지 비교하는 것이다.
측정: 회전 속도 단계 측정과 정지 상태 광변조 스윕
회전 속도 단계별 리사주 관찰. 최고 회전 속도 범위 안에서 6~8개의 회전 속도를 고르고, 각 단계에서 차동 프로브로 A·B를 동기 기록한 뒤 타원 피팅으로 Δφ와 ρ를 구한다. 가로축을 f = N·n/60으로 하여 그리고 Δφ = φ₀ + 360°·f·Δt + [arctan(f/f_B) − arctan(f/f_A)]로 피팅하면 세 성분을 분리할 수 있다. 오실로스코프 두 채널과 프로브 자체의 지연 차는 미리 교정해야 한다. 두 프로브를 서로 바꿔 각각 한 번씩 측정하고 평균을 내어 상쇄한다.
정지 상태 광변조 스윕. 고속 운전이 어렵다면 축을 A·B 진폭이 같은 45° 부근에 정지시키고, 정광량 폐루프를 끊은 뒤 신호 발생기로 LED 전류에 소진폭 사인 변조(변조 깊이 5%~10%)를 중첩하여 10 kHz에서 1 MHz까지 스윕하면서 A·B 출력의 교류 성분 비를 측정한다. 두 채널은 같은 광강도 변조를 받으므로 그 비는 곧 H_B/H_A이며, LED 자체의 대역폭은 비에서 상쇄된다. 채널 오프셋은 교류 성분에 추가 항을 더하므로 45°와 225° 위치에서 각각 한 번씩 측정하고 차를 취해 제거한다. 이 방법의 상한은 LED 드라이버의 변조 대역폭과 신호대잡음비가 결정한다.
회로 기판에 접근할 수 있다면, 작은 커패시터를 통해 각 트랜스임피던스 증폭기 입력에 시험 전류를 주입하여 각 채널의 전달 함수를 직접 측정할 수도 있다.
대역폭 매칭 공차
두 채널 차단 주파수의 상대차를 ε = (f_A − f_B)/f_A, 최고 신호 주파수와 차단 주파수의 비를 u = f_max/f_c라 하자. ε가 작을 때 오차는 약 ½·ε·u/√(1 + u²)이므로, 허용 오차 E(전기각, rad)에 대해 다음을 얻는다.
ε ≤ 2E·√(1 + u²) / u
2048선에서의 허용값:
| 허용 오차 | u = 0.2 | u = 0.4 | u = 0.8 |
|---|---|---|---|
| 0.5″ | 5.1% | 2.7% | 1.6% |
| 1″ | 10.1% | 5.3% | 3.2% |
| 2″ | 20.3% | 10.7% | 6.4% |
예: 2048선, 6000 r/min에서 f_max ≈ 205 kHz이고 f_c = 500 kHz이면 u ≈ 0.41이다. 고속에서 보간 오차를 1″ 이하로 하려면 두 차단 주파수의 차를 약 5% 이내로 관리해야 한다(그림 3 참조).
불일치의 원인: 필터 저항이 1%, 커패시터가 5% 공차라면 RC 곱은 최악의 경우 약 6% 다를 수 있다. 트랜스임피던스 대역폭은 입력 정전용량의 제곱근에 대략 반비례하므로, 두 채널의 다이오드 또는 배선 정전용량이 10% 다르면 대역폭은 약 5% 다르다. 연산 증폭기 이득 대역폭 곱의 편차도 제곱근으로 영향을 준다. 대책: 두 채널에 같은 로트의 1%~2% 커패시터와 하나의 듀얼 연산 증폭기를 쓰고, 레이아웃을 대칭으로 한다. 필요하면 f_c를 높여 u를 낮추되, 그로 인해 늘어나는 잡음을 계산해야 한다.
엔지니어링 메모
- 먼저 f = N·n/60으로 회전 속도를 신호 주파수로 환산하고, 한 가지 회전 속도만이 아니라 Δφ와 진폭비의 f에 대한 곡선을 본다.
- 대역폭 불일치는 저주파에서 시간차 Δτ = (1/f_B − 1/f_A)/(2π)와 같다. 500/450 kHz에서는 약 35 ns이다.
- 구별 기준: 대역폭 불일치에는 진폭차가 동반되고 위상차에 피크가 있다. 시간 지연은 선형 위상만 만든다. 정적 오차는 저속에서도 존재한다. 샘플링 지연은 아날로그 리사주에 나타나지 않는다.
- 고속 운전이 어렵다면 정지 상태 광변조 스윕으로 H_B/H_A를 측정하고, 오프셋 제거를 위해 45°와 225°에서 각각 한 번씩 측정한다.
- 대역폭 매칭 공차는 ε ≤ 2E·√(1 + u²)/u로 정한다. 2048선, u = 0.4, 1″일 때 약 5%이다. 같은 로트·같은 패키지의 1%~2% 커패시터를 고른다.
요약
회전 속도가 오를수록 리사주가 기울어진 타원으로 변하는 것은 대부분 두 채널의 로우패스 대역폭 차이 때문이다. 위상차는 처음에 주파수에 따라 선형으로 증가하다가 √(f_A·f_B)에서 피크에 이르고, 진폭차는 계속 커진다. 일반적인 회전 속도 범위에서 오차는 회전 속도에 거의 비례한다. 회전 속도 단계 피팅이나 정지 상태 광변조 스윕으로 시간 지연, 정적 오차, 샘플링 지연과 분리하고, 허용 오차로부터 대역폭 매칭 공차를 역산하면 설계와 수입 검사 양쪽에서 관리할 수 있다.
중국어 원문 기사 번역 (0223). ENC7 코드 디스크 제조사 (문의) · 기술 자료 · https://enc7.com
© Langfang Jingzheng Optoelectronic Technology Co., Ltd. 무단 전재를 금합니다. 이 글은 AI의 도움을 받아 작성되었습니다.