신호 문제 사례집
증상: 신호가 삼각파가 되고 진폭도 낮다 – 갭 과대와 검출 창 컨볼루션
50% 코드 디스크와 같은 피치의 50% 검출 창을 컨볼루션하면 삼각파가 되고, 고조파는 1/n²로 감소하며 3차 고조파는 약 11%, atan2로 직접 풀면 보간 오차는 전기각 약 ±4.1°입니다. 이 글은 반그림자와 회절이라는 두 가지 흐림이 삼각파와 진폭에 미치는 영향을 유도하고, 둘을 구분하는 시험과 검출 창 듀티비를 바꿀지 갭을 조정할지에 대한 판단 기준을 제시합니다.
오실로스코프에서 A상이 정현파가 아니라 꼭짓점이 뾰족한 삼각파이고, 진폭도 공칭값보다 이삼십 퍼센트 낮습니다. 많은 사람은 먼저 두 현상이 서로 모순된다고 생각합니다. 삼각파는 갭이 작을 때 나오고, 진폭 저하는 갭이 클 때 생긴다는 것입니다. 실제로는 삼각파는 코드 디스크와 검출 창의 기하학적 컨볼루션에서, 진폭 저하는 갭으로 인한 흐림에서 오며, 둘은 동시에 나타날 수 있습니다. 피치가 미세한 코드 디스크에서 갭이 너무 크면 근접장 자기 결상 때문에 3차 고조파가 다시 커지기도 합니다. 이 글은 먼저 삼각파의 원인을 유도하고, 이어서 반그림자와 회절 두 가지 흐림을 분석한 뒤, 마지막으로 구분 방법과 개선 기준을 제시합니다.
삼각파의 원인: 구형파와 검출 창의 컨볼루션
코드 디스크의 투과율은 듀티비 50%의 구형파이고, 검출 창(인덱스 격자 또는 검출 소자)의 개구 폭은 w·p입니다. 검출기가 받는 빛은 둘의 겹침 면적이며, 변위의 함수로 보면 둘의 컨볼루션입니다. w = 0.5일 때 겹침 면적은 영과 창 면적의 절반 사이에서 선형으로 증감하여 삼각파가 됩니다. 그 푸리에 계수는 두 sinc의 곱입니다.
c_n ∝ sinc(n/2) · sinc(n·w)
w = 0.5일 때 기본파에 대한 홀수차 고조파의 비는 h_n = 1/n²이며 모두 양수입니다: h3 = 11.1%, h5 = 4.0%, h7 = 2.0%. atan2로 직접 풀면 보간 오차의 피크는 약 0.071 rad, 즉 전기각 ±4.1°이고, 2048라인에서는 약 7.2″입니다(고조파와 오차의 일반적인 관계는 본 시리즈의 「방원(方圆)」 편 참조).
혼동하기 쉬운 숫자가 하나 더 있습니다. 삼각파의 기본파 진폭은 삼각파 피크값의 8/π² ≈ 0.81에 불과합니다. 오실로스코프에서 1 Vpp로 측정된 삼각파라도 보간기가 “보는” 정현 성분은 약 0.81 Vpp뿐이므로, 리사주 반경이나 기본파로 정의한 진폭은 당연히 낮게 나옵니다.
진폭 저하: 갭이 만드는 두 가지 흐림
기하학적 흐림(반그림자). 발광 영역 폭이 s, 코드 디스크까지 거리가 L일 때 갭 g에서 그림자의 흐림 폭은 b = s·g/L = g·Δα이며, Δα는 측정 방향의 조명 각폭입니다. 직사각형 흐림 커널은 n차 고조파에 sinc(n·b/p)를 곱합니다. b < p/2이면 이와 컨볼루션된 삼각파는 영점 교차 부근에서 여전히 직선이고 영점 교차 기울기는 변하지 않습니다. 꼭짓점만 포물선으로 뭉개져 피크-피크 값은 1 − b/p로, 기본파는 sinc(b/p)로 떨어집니다(그림 1 참조). b = p/3이면 sinc(3b/p) = 0이 되어 3차 고조파가 정확히 사라지고 기본파는 약 83% 남습니다.
회절. 50% 코드 디스크에서는 n차 고조파에 cos(n²πλg/p²)가 곱해집니다. 기본파는 cos(πλg/p²)로 천천히 떨어지지만 3차 고조파는 9배 빨리 변합니다. p²/(18λ)에서 영점을 지나 부호가 바뀌고, 2p²/(9λ)에서 완전히 원래대로 돌아옵니다. 그때 기본파는 이미 cos(40°) ≈ 0.77까지 떨어져 있습니다. 즉 피치가 미세한 코드 디스크에서 갭이 너무 크면 파형은 다시 삼각파가 되고 진폭은 이미 눈에 띄게 떨어져 있습니다. 이것이 바로 제목의 증상입니다.
계산 예(p = 20 μm, λ = 0.88 μm, 스펙트럼 폭 40 nm, 조명 각폭 20 mrad 가정):
| 갭 g | 기본파(밀착 시 = 1) | h3 | 보간 오차 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1.00 | +11.1% | 4.1° |
| 25 μm | 0.98 | +0.2% | 1.4° |
| 50 μm | 0.94 | −11.4% | 4.8° |
| 75 μm | 0.86 | −0.6% | 2.7° |
| 100 μm | 0.76 | +12.5% | 7.3° |
g = 100 μm(약 2p²/(9λ))에서는 3차 고조파가 밀착 시보다도 크고 오차는 약 7.3°인데, 진폭은 약 76%밖에 남지 않습니다. 조명 각폭을 50 mrad로 키우면 같은 갭에서 h3는 약 4.8%, 오차는 약 2.7°로 줄고 기본파는 약 0.69로 떨어져 파형이 “꼭대기가 둥근 삼각파”가 됩니다(그림 2 참조).
피치가 거친 경우는 반대입니다. p = 50 μm, 조명 각폭 50 mrad에서는 회절 계수가 수백 마이크로미터에 걸쳐 0.9 이상을 유지하고, 흐림은 주로 반그림자에서 옵니다. g ≈ 333 μm에서 b ≈ p/3이 되어 3차 고조파가 사라지고 오차는 약 0.5°, 기본파는 약 0.77입니다. 거친 피치의 삼각파는 보통 작은 갭에서만 나타나며 갭이 커지면 단조롭게 둥글어집니다.
갭 과대와 광원 반그림자 구분하기
- 갭을 미세하게 스캔하며 h3를 본다. 약 p²/(36λ)(p = 20 μm이면 약 13 μm) 간격으로 갭을 바꾸며 FFT를 합니다. h3가 약 2p²/(9λ) 주기로 부호가 바뀌면 회절, 단조 감소하며 g·Δα ≈ p/3 부근에서 영점을 지나면 반그림자입니다.
- 파장을 바꾼다. 적색 LED로 바꿉니다(나머지는 동일). 회절 특징의 위치는 λ에 따라 이동하고 반그림자는 변하지 않습니다.
- 광원 크기를 바꾼다. LED 앞에 좁은 슬릿 조리개를 넣거나 LED를 뒤로 뺍니다. 반그림자는 그에 따라 줄고 회절은 영향을 받지 않습니다.
- 파형 세부를 본다. 피크-피크 값은 떨어지지만 영점 교차 기울기가 그대로이고 꼭짓점이 원호가 되면 반그림자형입니다. 영점 교차 기울기도 갭에 따라 변하고 평평한 꼭대기와 뾰족한 꼭짓점이 번갈아 나타나면 회절형입니다.
- 진폭–갭 곡선의 영점을 본다. 회절의 첫 영점은 p²/(2λ)(p = 20 μm이면 약 227 μm), 반그림자의 영점은 p/Δα(20 mrad이면 약 1 mm)에 있습니다.
개선 기준: 창을 바꿀 것인가, 갭을 조정할 것인가
- 진폭은 충분하고 오차가 크다(작은 갭에서의 삼각파): 검출 창 듀티비를 바꿉니다. 밀착 시 w = 1/3이면 3차 고조파가 없어지지만 5차는 여전히 약 −4%이고 오차는 약 3.4°입니다. w ≈ 0.29에서 오차가 최소로 약 1.8°입니다. 대가는 기본파가 sin(πw)로 떨어지는 것으로, w = 1/3이면 약 13% 줄어듭니다(그림 3 참조). 갭 흐림이 있으면 오차가 최소가 되는 듀티비가 이동하므로 실제 갭으로 다시 계산해야 합니다. 더 근본적인 방법은 다중 창 공간 필터링이나 알고리즘에서 삼각파를 선형화하는 것입니다(관련 편 참조).
- 진폭이 낮고 파형도 삼각(미세 피치, 갭 과대): 갭을 기본파 계수 ≥ 0.9 범위, 즉 g ≤ 약 0.14·p²/λ(p = 20 μm이면 약 64 μm)로 되돌리고, 2p²/(9λ) 부근의 3차 고조파 재현 영역을 피합니다.
- 거친 피치, 확장 광원: 작동 갭을 일부러 g·Δα ≈ p/3 부근에 두고 반그림자를 저역 통과 필터로 써서, 기본파 약 17%를 내주고 거의 정현적인 파형을 얻을 수 있습니다.
엔지니어링 포인트
- 50% 코드 디스크에 50% 검출 창을 조합하면 밀착 시 삼각파가 된다: h_n = 1/n², 오차는 전기각 약 ±4.1°.
- 삼각파의 기본파는 피크값의 0.81뿐이므로, 피크-피크 값으로 평가한 진폭과 리사주 반경으로 평가한 진폭은 약 19% 차이 난다.
- 반그림자형 흐림은 영점 교차 기울기를 유지하고 피크-피크 값은 1 − b/p로 떨어진다. b = p/3이면 3차 고조파는 사라진다.
- 미세 피치에서는 3차 고조파가 2p²/(9λ)에서 재현되고, 이때 기본파는 약 0.77만 남는다. “삼각파 + 낮은 진폭”은 갭 과대의 신호다.
- 갭 미세 스캔, 파장 변경, 조리개 추가의 세 가지 시험으로 회절과 반그림자를 분리할 수 있다.
- 오차 문제는 먼저 검출 창 듀티비나 공간 필터링으로, 진폭 문제는 먼저 갭을 되돌려 대처하고, 둘을 같은 모델로 함께 검산한다.
요약
삼각파는 코드 디스크의 구형파와 같은 피치의 검출 창을 컨볼루션한 직접적인 결과이고, 낮은 진폭은 갭이 만드는 반그림자와 회절에서 옵니다. 거친 피치에서는 흐림이 주로 반그림자이며 삼각파는 갭에 따라 단조롭게 둥글어집니다. 미세 피치에서는 회절 때문에 3차 고조파가 2p²/(9λ)에서 재현되어 “삼각파인데 진폭도 낮은” 증상이 나타납니다. 먼저 갭 미세 스캔, 파장 변경, 광원 크기 변경으로 원인을 가린 뒤, 검출 창 듀티비를 바꿀지 갭을 조정할지 결정합니다.
중국어 원문 기사 번역 (0229). ENC7 코드 디스크 제조사 (문의) · 기술 자료 · https://enc7.com
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