유리 조성은 열팽창을 어떻게 정하는가: 산화물 가성법

규산염 유리의 선팽창 계수는 산화물 기여를 더해 추정할 수 있다. 이 글은 몰분율 가성법을 소다라임, 붕규산, 알칼리 알루미노규산염, 무알칼리 유리에 적용하고, 결과를 핸드북 값 및 회귀 모델과 비교하며, 알칼리가 팽창을 높이고 SiO₂와 Al₂O₃가 낮추는 구조적 이유를 설명하고, 조성 변동이 로트 간 팽창 차이에 미치는 영향을 추정한다.

수입 검사에서 공급사가 제시하는 선팽창 계수는 흔히 공칭값일 뿐이다. 예를 들어 소다라임 유리는 약 9, 붕규산 유리는 약 3.3(단위 10⁻⁶/K)이다. 같은 품종이라도 용해 로트가 다르면 조성이 천분의 몇 정도 달라진다. 그때 선팽창 계수는 얼마나 다르고, 그 차이는 디스크와 허브의 끼워맞춤에서 얼마나 큰가? 실험 없이도 산화물 가성법으로 먼저 크기 수준을 추정할 수 있다. 유리의 많은 성질은 각 산화물 기여의 선형 합으로 근사할 수 있으며, 선팽창 계수는 그중 규칙성이 좋은 편이다.

가성법: 모델과 계수

Appen형 가성법은 몰분율로 계산한다.

α = Σ xᵢ·aᵢ

xᵢ는 i번째 산화물의 몰분율, aᵢ는 그 가성 계수이다(단위 10⁻⁶/K, 실온에서 수백 ℃까지의 평균 팽창에 해당). 흔히 쓰는 공개 계수는 Na₂O 약 39.5, K₂O 약 46.5, BaO 약 20, CaO 약 13, MgO 약 6, Al₂O₃ 약 −3이다. SiO₂의 계수는 함량에 따라 달라서, 몰분율 x ≥ 0.67이면 10.5 − 10x(순수 SiO₂는 0.5), x < 0.67이면 3.8이다. B₂O₃의 계수는 조성에 따라 크게 변하며 문헌은 −5에서 0의 범위를 제시하므로 범위나 중간값을 쓸 수밖에 없다.

조성은 보통 질량분율로 주어지므로 먼저 환산한다. xᵢ ∝ wᵢ / Mᵢ(Mᵢ는 몰 질량)로 한 뒤 정규화한다. 다른 계열인 Winkelmann–Schott법은 질량분율을 그대로 더하는데, 더 거칠고 BaO와 Al₂O₃가 많은 유리에서 편차가 뚜렷하다(이 글의 예에서는 무알칼리 유리를 약 2단위 높게 추정한다. 권장하지 않는다).

수치 예

아래 조성은 모두 전형적인 예이며 특정 품종에 대응하지 않는다. 소다라임 유리(wt%): SiO₂ 72.6, Na₂O 13.9, CaO 8.4, MgO 4.0, Al₂O₃ 0.7, K₂O 0.4. 몰분율로 환산하면 71.4, 13.2, 8.8, 5.9, 0.4, 0.3이다. 이때 SiO₂ 계수는 10.5 − 7.14 = 3.36이고 각 항의 기여는 다음과 같다.

핸드북 범위는 약 8.5–9.5로 잘 일치한다. Na₂O 한 항이 절반 이상을 차지한다.

네 가지 예시 조성의 비교는 다음과 같다(그림 2 참조).

괄호 안은 B₂O₃ 계수를 −5에서 0으로 했을 때의 범위이다. 회귀 모델은 Fluegel이 제안한 이차항과 상호작용항을 포함하는 전역 통계 모델로, 210 ℃ 부근의 선팽창 계수에 해당하며 보고된 표준 오차는 약 0.4이고, 저자는 정확도가 초기 가성법의 약 두 배라고 밝혔다. 붕소를 포함하는 유리에서는 두 방법의 차이가 0.4–0.7인데, 원인은 바로 B₂O₃의 「붕소 이상」이다. 가성법의 고정 계수로는 붕소 배위가 조성에 따라 바뀌는 거동을 기술할 수 없다.

구조적 이유: 알칼리는 왜 팽창을 높이고 망목 형성 산화물은 왜 낮추는가

석영 유리는 Si–O 사면체가 가교 산소로 연결된 삼차원 망목으로, 결합이 강하고 망목이 열려 있다. 가열 시 산소 원자의 횡방향 진동이 결합 길이 팽창의 일부를 상쇄하기까지 하므로 선팽창 계수는 약 0.5에 불과하다.

Na₂O를 넣으면 가교 산소가 끊겨 비가교 산소가 되고, Na⁺는 훨씬 약한 이온 결합으로 망목의 틈을 차지한다. 결합의 비조화성이 크고 망목 연결도가 떨어지므로 팽창이 커진다. 알칼리 토류 이온(Ca²⁺, Mg²⁺)은 전하와 장 세기가 커서 비가교 산소 두 개를 끌어당겨 국소 가교 역할을 한다. 그래서 계수가 알칼리 금속보다 작고 Mg는 Ca보다 작다. 즉 같은 몰분율에서 팽창을 덜 높인다.

알칼리가 있으면 Al₂O₃는 AlO₄⁻ 사면체로 망목에 들어가 Na⁺로 전하 보상되고, 비가교 산소를 다시 가교 산소로 바꾸므로 계수가 약간 음수이다. B₂O₃는 삼배위와 사배위 두 상태로 존재하고 그 비율이 알칼리 함량에 따라 변한다. 이것이 계수가 일정하지 않은 이유이다(그림 3).

조성 변동이 로트 간 팽창 차이에 미치는 영향

Appen 계수로 감도 분석을 하면, SiO₂ 0.5 wt%를 다음 산화물로 치환할 때마다 선팽창 계수 변화는 다음과 같다.

Na₂O 1 wt%마다 α는 약 0.4–0.45 변한다. 어떤 붕규산 로트의 Na₂O가 ±0.5 wt% 변동하면 α는 약 ±0.23 변동해 3.1의 7%에 해당하고, 소다라임 유리에서 같은 변동은 9.2의 2%에 불과하다. 치수로 환산하면 r = 20 mm, 온도 상승 60 K에서 Δr = r·Δα·ΔT ≈ 0.27 μm이다. 균일한 팽창은 눈금선의 각도 위치를 바꾸지 않고 피치 부정합도 만들지 않는다. 이 양이 실제로 영향을 주는 것은 금속 허브와의 팽창 차이이다. 예를 들어 스테인리스강(약 16.5)과 소다라임 유리(약 9.2)는 r = 10 mm의 끼워맞춤 면에서 10 × 7.3×10⁻⁶ × 60 ≈ 4.4 μm 차이가 나며, 로트 변동은 그에 비해 몇 퍼센트에 불과하다.

따라서 조성으로부터의 추정은 주로 두 가지에 쓰인다. 공급사의 공칭값이 타당한지 판단하는 것, 재료나 용해 로트를 바꿀 때 팽창 차이의 크기 수준을 평가하는 것. 정확한 값은 실측에 따른다.

엔지니어링 요점

• 가성법은 크기 수준과 변화 경향의 추정에 적합하다. 붕소를 포함하는 유리는 단일값이 아닌 범위로 제시한다.
• 추정 전에 질량분율을 몰분율로 환산하고 wᵢ/Mᵢ로 정규화한다. 두 기준을 섞으면 틀린 결과가 나온다.
• 소다라임 유리의 팽창은 주로 Na₂O가 정하며 1 wt%당 약 0.4이다. 로트 일관성을 점검할 때는 공급사에 Na₂O 함량이나 선팽창 계수의 로트 데이터를 요구한다.
• 디스크와 허브의 재료 조합은 실측값이나 핸드북 값을 기준으로 한다. 로트 변동은 일반적으로 몇 퍼센트 수준의 보정일 뿐이다.
• 무알칼리 알루미노붕규산 유리의 추정은 0.5 정도 어긋날 수 있다. 선정 시 공식에만 의존하지 말고 시험 성적서를 확인한다.
• 온도 범위를 맞춘다. 핸드북은 대개 20–300 ℃ 평균값이고, 가성법과 비교한 회귀 모델은 210 ℃ 부근에 해당하므로 직접 비교하면 기준 차이가 있다.

정리

유리의 선팽창 계수는 몰분율 가성으로 추정할 수 있으며, 소다라임 유리는 약 9.2, 붕규산 유리는 약 3.1(범위 2.8–3.3)로 핸드북과 대체로 일치한다. 알칼리 금속은 망목을 끊어 팽창을 높이고, SiO₂와 Al₂O₃는 망목을 강화해 팽창을 낮추며, B₂O₃의 작용은 배위에 따라 달라진다. Na₂O 1 wt%마다 α는 약 0.4 변하며, 이 계수로 로트 간 팽창 차이를 추정할 수 있다.

중국어 원문 기사 번역 (0561). ENC7 코드 디스크 제조사 (문의) · 기술 자료 · https://enc7.com

© Langfang Jingzheng Optoelectronic Technology Co., Ltd. 무단 전재를 금합니다. 이 글은 AI의 도움을 받아 작성되었습니다.