유리와 기판 과학
결정 기판의 이방성 팽창: 면내 팽창 부등은 어떻게 2차 각도 오차를 만드는가
단결정 기판은 결정축 방향마다 선팽창 계수가 다르다. 웨이퍼 면의 면내 팽창이 부등하면 방사 눈금이 2× 각도로 편향한다. 본고는 오차 진폭 Δα·sin²ν·ΔT/2를 유도하고, 사파이어 A면 약 5″, 석영 X/Y 절단 약 31″를 계산하며(ΔT = 50 K, 예시 파라미터), 방위·리드헤드 배치·온도 보상의 대책을 제시한다.
비정질 유리는 등방 팽창한다. 온도가 올라가도 디스크가 조금 커질 뿐 방사선의 각도 위치는 바뀌지 않는다. 단결정 기판(사파이어, 결정 석영)에서는 달라진다. 선팽창 계수가 방향에 따라 달라 면내 두 축이 부등하게 팽창하는 웨이퍼는 가열 시 원을 타원으로 바꾸고 방사선도 함께 편향한다. 오차는 한 바퀴에 두 번 나타나며 판독 반경과 무관하고, 직경 대향 이중 리드헤드로도 상쇄되지 않는다. 본고는 열팽창 텐서에서 각초까지 내려가 두 공학 질문에 답한다. 어떤 절단이 안전한가, 나머지는 어떻게 억제하는가.
모델: 팽창 텐서에서 2차 각도 오차로
삼방·육방·정방 계(사파이어와 α-석영 포함)에서 선팽창 계수의 독립값은 둘뿐이다. 광축(c축) 방향 α∥와 그에 수직인 α⊥. c축과 χ각을 이루는 임의 방향에서는
α(χ) = α⊥ + (α∥ − α⊥)·cos²χ = α⊥ + Δα·cos²χ
여기서 Δα = α∥ − α⊥. 웨이퍼 법선이 c축과 ν각을 이룰 때 면에는 두 주축이 있다. 하나는 c축의 면내 투영 방향(c축과 90° − ν), 팽창 α⊥ + Δα·sin²ν; 다른 하나는 c축에 수직, 팽창은 단순 α⊥. 면내 차이는
Δα_eff = Δα·sin²ν
C면(ν = 0)에서는 0, A면(ν = 90°)에서는 Δα, R면(법선이 c축에서 약 57.6°)에서는 0.713·Δα이다. 입방 실리콘에는 이 문제가 없다. 열팽창 텐서가 등방이다(탄성 이방성은 별 문제).
선이 T₀에서 이상적 방사로 쓰였다고 하자. ΔT 상승 후 주변형은 ε_x = α_x·ΔT, ε_y = α_y·ΔT. 결정축에서 각위치 φ의 점 (r·cosφ, r·sinφ)는 (r(1+ε_x)cosφ, r(1+ε_y)sinφ)로 가고 각도 편차는
tan(φ + δ) = (1+ε_y)/(1+ε_x)·tanφ, δ ≈ (ε_y − ε_x)/2 · sin2φ
를 만족한다.
오차 진폭
A₂ = Δα_eff·ΔT / 2
여기서 φ는 x축에서 잰다. 세 성질이 따른다. 반경 r과 무관; 균일 팽창의 등방 성분은 완전히 소거; 편향은 φ = 45°에서 최대. 고정 리드헤드로 디스크가 한 바퀴 돌면 φ가 360°를 훑고 오차는 두 주기를 보인다(그림 1, 오른쪽). 늘어난 플라스틱 필름 디스크에서도 같은 형태가 나온다(본 라이브러리 다른 글 참조). 결정에서는 이방성이 격자에서 오며 배치마다 거의 바뀌지 않는다.
수치 예: 50 K 온도차
ΔT = 50 K(쓰기 온도 기준)로 둔다. 사파이어 Δα의 문헌값은 1 ppm/K 자릿수이지만 정확한 수, 부호, 온도 의존성까지 출처마다 어긋난다. 아래 표는 0.5, 1.0, 1.6 ppm/K 세 예시 등급을 쓴다. α-석영은 α∥ 약 7.1–7.5, α⊥ 약 13.2–13.7 ppm/K이므로 Δα는 약 6 ppm/K이다(부호는 사파이어와 무관하며 위상만 옮긴다).
| 기판과 절단 | Δα_eff (ppm/K) | Δε = Δα_eff·ΔT | 2차 진폭 |
|---|---|---|---|
| 사파이어 C면 | 0 | 0 | 0 |
| 사파이어 R면 (Δα = 1.0) | 0.71 | 36 ppm | 약 3.7″ |
| 사파이어 A면 (Δα = 0.5 / 1.0 / 1.6) | 0.5 / 1.0 / 1.6 | 25 / 50 / 80 ppm | 약 2.6″ / 5.2″ / 8.3″ |
| 석영 Z절단 | 0 | 0 | 0 |
| 석영 X 또는 Y 절단 (Δα ≈ 6) | 6 | 300 ppm | 약 31″ |
A면에서 Δα = 1.0 ppm/K일 때: Δε = 1.0×10⁻⁶ × 50 = 50 ppm, A₂ = 25×10⁻⁶ rad × 206265 ≈ 5.2″. 정확한 arctan의 직접 수치 평가는 5.157″; 소각 근사 오차는 만분의 삼보다 작다. 2048선 디스크에서 신호 한 주기는 약 632.8″이므로 5.2″는 주기의 0.8%; 석영 X/Y 절단의 31″는 주기의 거의 5%로 높은 세분이 필요하면 무시할 수 없다. 반대로 2차 오차를 1″ 이내로 두려면 허용 온도 편차는
ΔT_max = 2·e_max / Δα_eff
e_max = 1″ = 4.85 μrad일 때 A면 사파이어(Δα = 1.0)는 약 9.7 K, R면 약 13.6 K, 석영 X/Y 절단은 약 1.6 K만 허용한다.
대책: 방위, 리드헤드, 온도 보상
1. C면(사파이어) 또는 Z절단(석영)을 우선한다. 광축이 디스크 법선이면 면이 등방이고 2차항은 영이다. 절단이 γ만큼 어긋나면 면내 차이 Δα·sin²γ는 제곱으로 줄어든다. γ = 1°에서는 Δα의 3×10⁻⁴에 불과; 사파이어 Δα = 1.0 ppm/K, ΔT = 50 K에서 γ = 5°여도 약 0.04″, Z절단 석영 γ = 5°는 약 0.24″(그림 3, 왼쪽). 따라서 C면 절단 공차는 도수 수준으로 완화해도 되며 추가로 값을 매길 필요가 없다.
2. 고조파에 맞춰 리드헤드를 배치한다. N개 리드헤드 신호 평균은 k차 고조파의 잔여 분율 |Σe^(ikφ_j)|/N을 남긴다. 직경 대향(180°)은 1차(편심)를 상쇄하지만 2차는 완전히 남기고; 90° 간격 두 헤드는 2차를 정확히 상쇄하며 1차는 0.707 남기고; 등간격 네 헤드는 둘 다 상쇄한다(그림 3, 오른쪽). A면·R면을 써야 한다면 90° 또는 네 헤드 배치를 쓰거나, 온도 범위에서 표의 진폭을 감수한다.
3. 온도 보상. A₂ = Δα_eff·(T − T₀)/2는 결정축에 고정된다. 위상은 리드헤드에 대한 축 방위가 정하고, 진폭은 쓰기 온도차와 비례한다. 공장 교정에서 축 방향을 기록하고 사용 중 온도를 재면 두 파라미터로 보정이 나온다. 냉각 시 진폭 부호가 뒤집힘에 유의한다.
4. 그 밖의 차이. A·R면 웨이퍼는 복굴절한다(사파이어 Δn 약 0.008; 850 nm 근처 1 mm 두께에서 약 9파장 지연). 편광 감응 판독은 확인해야 한다. C면 빛은 c축을 따라 진행해 수직 입사에서 복굴절이 없다.
공학 요점
- 면내 이방성 오차 A₂ = Δα·sin²ν·ΔT/2, 판독 반경과 무관; 허용 온도 편차는 ΔT_max = 2·e_max/Δα_eff로 역산.
- 사파이어 C면 우선; 절단 오차 5° 이내에서 Δα_eff는 두 자릿수 이상 줄어든다. A·R면은 분명한 이유가 있을 때만.
- 석영은 Z절단 우선; X/Y 절단은 Δα 약 6 ppm/K, 50 K에서 약 31″ — 높은 세분에 부적합.
- 단일 리드헤드나 직경 이중 헤드로는 2차 고조파를 억제하지 못함; 필요하면 90° 또는 네 헤드 등간격.
- 사파이어 Δα 크기·부호는 문헌마다 다름; 선정 전 공급자에 실측 팽창을 요청하거나 열사이클로 2차 고조파를 직접 교정.
- 열사이클 검증에서는 전주 오차를 푸리에 분해하고 2차 성분을 온도에 대해 1차(편심)와 따로 본다.
요약
단결정 기판의 열팽창은 이계 텐서로 기술된다. 면내 두 주팽창 계수가 다르면 온도 상승은 반경과 무관한 한 바퀴에 두 번의 각도 오차를 만들며 진폭은 Δα_eff·ΔT/2이다. 사파이어 C면과 석영 Z절단은 면내 등방이라 적합한 선택이고, A면·R면 또는 석영 X/Y 절단은 리드헤드 배치·온도 관리·보상으로 다루어야 한다.
중국어 원문 기사 번역 (0571). ENC7 코드 디스크 제조사 (문의) · 기술 자료 · https://enc7.com
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