비강성과 기판 선택: 같은 크기 디스크의 재료별 처짐과 고유진동수

동일 디스크 크기에서 일차 고유진동수는 √(E/ρ)로 스케일되고, 자중 처짐은 w ≈ 1.2g/(2πf₁)²를 만족하며 재료와 무관하다. 본고는 정확한 고리판 해로 여섯 기판의 f₁과 처짐을 계산하고(예시 Ø200 mm, 2 mm), 동일 진동수에서 두께·질량을 비교하며 대구경 디스크 선택 지침을 준다.

디스크가 커지고 얇아지면 면이 처지거나 흔들리는지가 선 정확도만큼 중요해진다. 반사형·소간격 리드헤드는 축방향 면 위치에 민감해 자중 처짐과 진동이 모두 간격 변화가 된다. 흔한 제안은 «더 강성한 재료로 바꾸라»이지만 유리·사파이어·실리콘의 영률은 배수로 다르고 밀도도 다르다 — 무엇을 봐야 하는가? 본고는 고리판 모델로 처짐과 고유진동수를 정리한다. 중요한 양은 하나다. 비강성 E/ρ이며, 처짐과 진동수는 같은 것의 두 표현이다.

모델: 두 식과 하나의 항등식

디스크는 허브에 고정된다. 안쪽 가장자리(클램프 반경 a)는 고정, 바깥 가장자리(반경 R)는 자유인 얇은 고리판으로 두고 두께 t. 굽힘 강성

D = E·t³ / [12(1 − ν²)]

일차 고유진동수

f₁ = λ² / (2πR²) · √(D / ρt) = λ² / (2πR²·√(12(1 − ν²))) · t · √(E/ρ)

여기서 λ²는 정확한 베셀 함수 해의 진동수 계수다. ν = 0.2, a/R = 0.2에서 4.80, a/R = 0.25에서 5.59. 최저 모드는 절선 지름이 1개인 흔들림 형태이며 축대칭 우산 모드보다 2%–6% 낮다. 면이 수평이고 자중 ρg·t만 있을 때 바깥 가장자리 처짐은

w = α·ρg·t·R⁴ / D = 12α(1 − ν²)·g·R⁴·ρ / (E·t²)

α는 기하만의 함수다. a/R = 0.2에서 약 0.054, 0.25에서 약 0.043. 두 식을 비교하면 f₁ ∝ (t/R²)·√(E/ρ), w ∝ (R⁴/t²)·ρ/E; 재료는 E/ρ로만 들어오고(그리고 1에 가까운 1 − ν² 보정). 합치면

w ≈ κ·g / (2π·f₁)², κ ≈ 1.2–1.4

κ는 기하가 정하며 재료와 무관하다. 자중 처짐은 간단히 «각진동수 제곱으로 나눈 g»다. f₁ = 240 Hz 디스크는 약 5.4 μm, 100 Hz에서는 약 31 μm 처진다. 따라서 처짐과 진동수를 두 지표처럼 다루지 말라 — f₁을 알면 자중 처짐을 안다(그림 3, 왼쪽: 모든 점이 한 직선 위).

수치 예: Ø200 mm, 두께 2 mm

바깥 지름 200 mm, 클램프 반경 20 mm, 두께 2 mm, 면 수평으로 둔다. 재료는 전형값(사파이어 a축 자릿수, 이방성 약 ±10%; 단결정 실리콘 130–169 GPa의 중간; 알칼리프리 유리는 자릿수):

네 유리 사이 E/ρ는 약 20%, f₁은 약 7%만 차이 난다. 소다라임에서 용융 석영으로 바꿔도 강성은 거의 안 는다. 사파이어·실리콘의 E/ρ는 유리의 2–3배, f₁은 1.5–1.8× 오르고 처짐은 약 0.3–0.4×로 줄어든다.

스케일 법칙이 더 중요하다. 바깥 지름을 두 배로 하면 f₁은 1/4로, 처짐은 16배가 된다. 두께를 두 배로 하면 f₁은 두 배, 처짐은 1/4. 같은 붕규산 디스크가 Ø200 mm, 1 mm 두께면 약 120 Hz·약 22 μm 처짐; Ø80 mm, 1 mm(클램프 반경 10 mm)면 f₁ 약 870 Hz·처짐 0.44 μm뿐 — 작은 디스크는 걱정할 필요 없다.

동일 진동수 설계: 사파이어는 얇아지지만 가벼워지지는 않는다

f₁ ≥ 500 Hz를 요구하고 두께를 역산한다.

t_min = 2πR²·f₁ / λ² · √(12(1 − ν²)ρ / E)

Ø200 mm에서 붕규산·소다라임은 약 4.2 mm, 용융 석영 약 3.9 mm, 실리콘 약 2.7 mm, 사파이어 약 2.3 mm(그림 2). 질량 ∝ ρ·t ∝ ρ^1.5/√E; 붕규산 대비: 사파이어 약 1.00, 용융 석영 0.92, 실리콘 0.68, 소다라임 1.12. 사파이어는 더 얇지만 밀도가 커 동일 진동수에서 더 가볍지 않고 회전 관성도 나아지지 않는다. 실리콘은 약 삼할 가볍지만 850–950 nm 근적외선에서 거의 불투명해 반사형·슬릿 패턴에만 쓸 수 있다(본 라이브러리 다른 글 참조).

비강성 너머: 클램프 반경과 속도

클램프 반경. a/R을 0.2에서 0.4로 올리면 λ²가 4.80에서 9.07로 올라 f₁이 거의 두 배, α는 0.054에서 0.018로 내려 처짐은 약 삼분의 일로 줄어든다. 허브 본드 링 반경을 키우는 편이 디스크를 두껍게 하거나 재료를 바꾸는 것보다 싸다 — 판독 트랙이 허브에 가리지 않는다는 전제에서.

회전 속도. 원심 응력은 ρω²R²로 스케일되며 E와 무관하다. 자유 구멍 근사에서 붕규산 Ø200 mm는 6000 r/min에서 구멍 가장자리 후프 응력 약 7 MPa, 20000 r/min에서 약 79 MPa(조립·본드 응력 제외). 따라서 저·중속에서는 선택 한계가 강성과 진동이고, 고속에서야 비강도와 가장자리 결함이 앞선다. 또한 회전 진동수와 그 낮은 고조파를 f₁에서 멀리 두라. 회전은 실험실 좌표계에서 절선 지름 모드를 더 갈라놓으므로 회전 디스크 모델로 확인해야 한다.

공학 요점

• 먼저 f₁을 계산한 뒤 w ≈ 1.2g/(2πf₁)²로 자중 처짐을 추정한다. 면이 수평이고 간격 공차가 수십 마이크로미터 안일 때만 점검이 필요하다.
• 강성 때문에 유리끼리 바꾸지 말라. E/ρ 차이는 약 20%뿐이다. f₁은 두께를 키우거나(f₁ ∝ t), 바깥 지름을 줄이거나(∝ 1/R²), 클램프 반경을 키워 올린다.
• 크고 얇은 유리 디스크는 f₁을 실제로 계산하라. 같은 붕규산 Ø150 mm × 3 mm는 약 640 Hz, Ø200 mm × 2 mm는 약 240 Hz뿐이다.
• 동일 진동수 비교는 두께만이 아니라 질량·관성을 보라. 사파이어가 더 얇다고 더 가벼운 것은 아니다.
• 사파이어·실리콘 E는 결정 방향에 따라 변한다. 표 수치는 자릿수이니 설계 확정 전 공급자에 방위와 실측 모듈러스를 요청하라.
• 실제 f₁은 본드 링 강성에 좌우되며 이상 클램프보다 낮다. 시료에서 타격 또는 레이저 진동계로 검증하라.

요약

동일 크기 디스크에서 일차 고유진동수는 √(E/ρ)로, 자중 처짐은 ρ/E로 스케일되며 w ≈ κg/(2πf₁)²가 둘을 하나로 묶는다. 유리 사이 비강성 차이는 작아 재료 선택이 거의 바꾸지 못하고, 사파이어·실리콘은 f₁을 약 1.5–1.8× 올릴 수 있으나 사파이어는 질량을 줄이지 못하며 실리콘은 근적외선 불투명으로 제한된다. 대구경 디스크의 강성은 주로 두께·바깥 지름·클램프 반경에서 얻는다.

중국어 원문 기사 번역 (0572). ENC7 코드 디스크 제조사 (문의) · 기술 자료 · https://enc7.com

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