Özgül rijitlik ve alt tabaka seçimi: aynı boyuttaki disklerin farklı malzemelerde sehimi ve doğal frekansı

Eşit disk boyutunda birinci doğal frekans √(E/ρ) ile ölçeklenir ve öz ağırlık sehimi w ≈ 1,2g/(2πf₁)² koşulunu sağlar, malzemeden bağımsızdır. Tam halka plaka çözümüyle bu makale altı alt tabaka için f₁ ve sarkmayı hesaplar (örnek Ø200 mm, 2 mm), eşit frekansta kalınlık ve kütleyi karşılaştırır ve büyük çaplı diskler için seçim kılavuzu verir.

Diskler büyüyüp inceldikçe yüzün çöküp çökmediği veya sallanıp sallanmadığı çizgi doğruluğu kadar önemlidir: yansıtmalı ve küçük boşluklu okuma kafaları eksenel yüz konumuna duyarlıdır, bu yüzden öz ağırlık sarkması ve titreşim boşluk değişimine dönüşür. Yaygın öneri «daha rijit bir malzemeye geç» şeklindedir, oysa cam, safir ve silisyumun Young modülleri katlarca, yoğunlukları da farklıdır — hangi niceliğe bakılmalıdır? Bu makale halka plaka modeliyle sehim ve doğal frekansı netleştirir. Yalnız bir nicelik önemlidir: özgül rijitlik E/ρ, ve sehim ile frekans aynı şeyin iki ifadesidir.

Şekil 1 – Altı alt tabaka diski Ø200 mm, 2 mm kalın: sol, birinci kipin yandan görünümü (genlik abartılı, dönüş hızı f1 ile ölçekli); sağ, artan özgül rijitlikle birinci frekans ve öz ağırlık sehimi (örnek parametreler, tam halka plaka çözümü)

Model: iki formül ve bir özdeşlik

Disk göbeğe kenetlenmiştir. İç kenarı (kenetleme yarıçapı a) sabit, dış kenarı (yarıçap R) serbest ince halka plaka olarak, kalınlık t ile ele alınır. Eğilme rijitliği

D = E·t³ / [12(1 − ν²)]

Birinci doğal frekans

f₁ = λ² / (2πR²) · √(D / ρt) = λ² / (2πR²·√(12(1 − ν²))) · t · √(E/ρ)

burada λ², Bessel işlevlerinin tam çözümünden frekans katsayısıdır: ν = 0,2, a/R = 0,2’de 4,80 ve a/R = 0,25’te 5,59. En düşük kip, 1 düğüm çaplı sallanma biçimidir ve eksenel simetrik şemsiye kipinden %2–%6 daha düşüktür. Yüz yatayken yalnız öz ağırlık ρg·t altında dış kenar sarkması

w = α·ρg·t·R⁴ / D = 12α(1 − ν²)·g·R⁴·ρ / (E·t²)

α yalnızca geometriye bağlıdır: a/R = 0,2’de yaklaşık 0,054, 0,25’te yaklaşık 0,043. İki formül karşılaştırıldığında: f₁ ∝ (t/R²)·√(E/ρ), w ∝ (R⁴/t²)·ρ/E; malzeme yalnızca E/ρ üzerinden girer (ve 1’e yakın 1 − ν² düzeltmesi). Birleştirildiğinde:

w ≈ κ·g / (2π·f₁)², κ ≈ 1,2–1,4

κ geometriyle belirlenir ve malzemeden bağımsızdır. Öz ağırlık sehimi kısaca «g’nin açısal frekans karesine bölümüdür»: f₁ = 240 Hz’lik disk yaklaşık 5,4 μm, 100 Hz’de yaklaşık 31 μm sarkar. Bu yüzden sehim ile frekansı iki ölçü gibi ele almayın — f₁ bilinince öz ağırlık sarkması bilinir (Şekil 3, sol: tüm noktalar aynı doğru üzerindedir).

Sayısal örnek: Ø200 mm, 2 mm kalın

Dış çap 200 mm, kenetleme yarıçapı 20 mm, kalınlık 2 mm, yüz yatay varsayılsın. Malzemeler tipik değerler alır (safir a-ekseni mertebesi, anizotropi yaklaşık ±%10; tek kristal silisyum 130–169 GPa’nın ortası; alkali-free cam mertebe olarak):

Malzeme	E (GPa)	ρ (g/cm³)	E/ρ (MJ/kg)	f₁ (Hz)	Dış öz ağırlık sehimi (μm)
Soda-kireç cam	70	2,50	28,0	239	5,4
Borosilikat cam	63	2,23	28,3	239	5,4
Alkali-free cam	74	2,38	31,1	253	4,8
Erimiş kuvars	72	2,20	32,7	256	4,8
Tek kristal silisyum	150	2,33	64,4	366	2,3
Safir	345	3,98	86,7	427	1,7

Dört cam arasında E/ρ yalnızca yaklaşık %20, f₁ yaklaşık %7 fark eder; soda-kireçten erimiş kuvarsa geçmek neredeyse rijitlik kazandırmaz. Safir ve silisyumun E/ρ’si camın 2–3 katıdır, f₁ 1,5–1,8× yükselir ve sarkma yaklaşık 0,3–0,4×’e düşer.

Ölçek yasaları daha önemlidir: dış çapı ikiye katlamak f₁’i 1/4’e indirir ve sarkmayı 16 kat artırır; kalınlığı ikiye katlamak f₁’i ikiye katlar ve sarkmayı 1/4’e indirir. Aynı borosilikat disk Ø200 mm, 1 mm kalında yalnızca yaklaşık 120 Hz ve yaklaşık 22 μm sarkmaya sahiptir; Ø80 mm, 1 mm’de (kenetleme yarıçapı 10 mm) f₁ yaklaşık 870 Hz ve sarkma yalnızca 0,44 μm’dir — küçük disklerde endişe gerekmez.

Eşit frekans tasarımı: safir incelir ama hafiflemez

f₁ ≥ 500 Hz istenip kalınlık ters çözülür:

t_min = 2πR²·f₁ / λ² · √(12(1 − ν²)ρ / E)

Ø200 mm’de borosilikat ve soda-kireç yaklaşık 4,2 mm, erimiş kuvars yaklaşık 3,9 mm, silisyum yaklaşık 2,7 mm, safir yaklaşık 2,3 mm ister (Şekil 2). Kütle ∝ ρ·t ∝ ρ^1,5/√E; borosilikata göre: safir yaklaşık 1,00, erimiş kuvars 0,92, silisyum 0,68, soda-kireç 1,12. Safir daha incedir ama yoğundur, eşit frekansta daha hafif değildir ve dönme ataleti iyileşmez; silisyum yaklaşık onda üç daha hafiftir ancak 850–950 nm yakın kızılötesinde neredeyse saydamsızdır, yalnızca yansıtmalı veya yarık desenler için kullanılabilir (bu kitaplıktaki başka bir makaleye bakın).

Şekil 2 – Sabit birinci frekans gereksiniminde dış çapa göre minimum kalınlık: t ∝ R²; eğriler özgül rijitliğe göre cam, silisyum ve safir bantlarına ayrılır

Özgül rijitliğin ötesi: kenetleme yarıçapı ve hız

Kenetleme yarıçapı. a/R’yi 0,2’den 0,4’e çıkarmak λ²’yi 4,80’den 9,07’ye yükseltir, f₁’i neredeyse ikiye katlar, α’yı 0,054’ten 0,018’e düşürür ve sarkmayı yaklaşık üçte bire indirir. Göbek yapıştırma halkası yarıçapını büyütmek diski kalınlaştırmaktan veya malzeme değiştirmekten ucuzdur — okuma izlerinin göbek tarafından kapatılmaması koşuluyla.

Dönme hızı. Merkezkaç gerilme ρω²R² ile ölçeklenir, E’den bağımsızdır. Serbest delik yaklaşımında borosilikat Ø200 mm 6000 r/min’de delik kenarında yaklaşık 7 MPa çevre gerilmesine, 20000 r/min’de yaklaşık 79 MPa’ya sahiptir (montaj ve yapıştırma gerilmesi hariç). Bu yüzden düşük-orta hızda seçim sınırı rijitlik ve titreşimdir; yalnızca yüksek hızda özgül dayanım ve kenar kusurları öne çıkar. Ayrıca dönme frekansını ve düşük harmoniklerini f₁’den uzak tutun; dönme, laboratuvar çerçevesinde düğüm çapı kiplerini daha da ayırır — dönen disk modeliyle kontrol edilmelidir.

Şekil 3 – Sol: farklı malzeme ve kalınlık noktaları aynı w–f₁ doğrusu üzerindedir; sağ: ortak 500 Hz’de göreli kalınlık ve kütle

Mühendislik notları

Önce f₁’i hesaplayın, sonra w ≈ 1,2g/(2πf₁)² ile öz ağırlık sarkmasını tahmin edin; yalnızca yüz yatayken ve boşluk toleransı onlarca mikrometre içindeyken kontrol gerekir.
Rijitlik için camlar arasında geçmeyin: E/ρ yalnızca yaklaşık %20 fark eder. f₁’i kalınlaştırarak (f₁ ∝ t), dış çapı küçülterek (∝ 1/R²) veya kenetleme yarıçapını büyüterek yükseltin.
Büyük ince cam diskler için f₁’i gerçekten hesaplayın: aynı borosilikat, Ø150 mm × 3 mm yaklaşık 640 Hz, Ø200 mm × 2 mm yalnızca yaklaşık 240 Hz.
Eşit frekans karşılaştırmaları yalnız kalınlığa değil kütle ve atalete bakmalıdır: daha ince safir daha hafif demek değildir.
Safir ve silisyum E’si kristal yönüne göre değişir; tablodaki sayılar mertebedir — tasarımı dondurmadan önce tedarikçiden yönelim ve ölçülmüş modül isteyin.
Gerçek f₁ yapıştırma halkası rijitliğine bağlıdır ve ideal kenetlemeden düşüktür; numunelerde vuruş veya lazer vibrometri ile doğrulayın.

Özet

Eşit boyutlu disklerde birinci doğal frekans √(E/ρ) ile, öz ağırlık sehimi ρ/E ile ölçeklenir ve w ≈ κg/(2πf₁)² ikisini tek olguda birleştirir. Camlar arasındaki özgül rijitlik farkları küçüktür, malzeme seçimi az değişim getirir; safir ve silisyum f₁’i yaklaşık 1,5–1,8× yükseltebilir ama safir kütleyi azaltmaz ve silisyum yakın kızılötesi saydamsızlıkla sınırlıdır. Büyük çaplı disklerin rijitliği esas olarak kalınlık, dış çap ve kenetleme yarıçapından kazanılır.

Çince orijinal makalenin çevirisi (0572). ENC7 – enkoder diski üreticisi (teklif) · Teknik makaleler · https://enc7.com