信号问题图鉴
症状：转速升高后李萨如由圆变斜椭圆——两路带宽不一致
低速时李萨如是圆、转速升高后变斜椭圆，多半是 A、B 两路带宽不一致：500 与 450 kHz 时 200 kHz 处相位差约 2.2°。本文推导相位差和幅值比随频率的变化，区分通道时差与采样时差，给出分转速段与停转调光扫频的测法及带宽匹配公差。
编码器在台架上低速标定时一切正常，李萨如是标准的圆；装到电机上跑到五六千转，同一个读数头的李萨如却变成了斜椭圆，细分误差也跟着增大，停下来又恢复。这种“只在高速出现”的相位误差，最常见的原因是 A、B 两路模拟通道的带宽不一致。本文推导它随频率的变化规律，说明怎样和通道时差、采样时差区分，怎样测量，以及两路带宽要匹配到什么程度。带宽本身如何由二极管电容和跨阻决定，见本文库光电二极管电容与带宽一篇。
模型：相位差和幅值比随频率变化
把每一路前端近似为一阶低通 H = 1/(1 + j·f/f_c)，A、B 两路截止频率分别为 f_A、f_B。两路相位滞后之差和幅值比为
Δφ = arctan(f/f_B) − arctan(f/f_A)
ρ = A_B/A_A = √(1 + (f/f_A)²) / √(1 + (f/f_B)²)
其中 f = N·n/60 为信号频率，N 为线数，n 为转速（r/min）。f_A = 500 kHz、f_B = 450 kHz、f = 200 kHz 时，两路滞后分别为 21.80° 和 23.96°，相差 2.16°；幅值比 0.984。
这组公式有三个值得记住的性质：
- 低频段像一个固定时差。 f 远小于截止频率时，Δφ ≈ 360°·f·Δτ，Δτ = (1/f_B − 1/f_A)/(2π)，示例为 35 ns。
- 相位差有峰值。 在 f = √(f_A·f_B) ≈ 474 kHz 处最大，Δφ_max = arctan[(f_A − f_B)/(2√(f_A·f_B))] ≈ 3.0°，之后反而减小。
- 幅值差单调增大。 低频段按 f² 增长，高频趋于 1 − f_B/f_A = 10%。
相位差让椭圆沿 45° 方向倾斜，幅值差让它沿坐标轴压扁，两者都产生每周期两次的细分误差，幅值约 ½·√(Δφ² + δ²)（δ = 1 − ρ，均以弧度计）；此外还有一个 Δφ/2 的固定偏移，表现为随转速变化的位置滞后。换算到 2048 线（1 rad 电角度约 100.7″）：
| f | 2048 线转速 | Δφ | 幅值差 δ | 细分误差 |
|---|---|---|---|---|
| 50 kHz | 1465 r/min | 0.63° | 0.1% | 0.56″ |
| 100 kHz | 2930 r/min | 1.22° | 0.5% | 1.09″ |
| 200 kHz | 5859 r/min | 2.16° | 1.6% | 2.06″ |
| 300 kHz | 8789 r/min | 2.73° | 3.0% | 2.82″ |
前三行误差几乎与频率成正比，这是“转速越高越差”的来源。用 atan2 直接仿真，200 kHz 处误差幅值为 0.0205 rad，与近似式一致。
与其他“随转速变化”的原因区分
转速相关的相位误差不止一种来源，频率特性各不相同（见图2）：
| 原因 | Δφ 随 f | 幅值比随 f | 示波器模拟李萨如 |
|---|---|---|---|
| 两路带宽不一致 | 先线性增大，在 √(f_A·f_B) 处达峰后回落 | 按 f² 起降低 | 斜椭圆并压扁 |
| 通道时差 Δt（滤波群延迟、比较器、走线） | 360°·f·Δt，一直线性增大 | 不变 | 斜椭圆 |
| 静态相位误差（读数头方位、检测场布局） | 不随转速变 | 不变 | 低速时已是斜椭圆 |
| 数字端 A、B 分时采样 | 360°·f·Δt_s | 不变 | 仍是圆 |
最后一项很容易被忽略：用一个 ADC 轮流采 A、B 时，采样间隔 Δt_s 在数字域里形成相位差，示波器上看模拟信号完全正常，细分误差却随转速线性增大。所以第一步要对比“模拟端李萨如”和“数字端解算误差”是否一致。
测量：分转速段与停转调光扫频
分转速段观察李萨如。 在最高转速范围内取 6–8 个转速，每档用差分探头同时采 A、B，拟合椭圆得到 Δφ 和 ρ，横轴换成 f = N·n/60 作图，再用 Δφ = φ₀ + 360°·f·Δt + [arctan(f/f_B) − arctan(f/f_A)] 拟合，三个分量就分开了。示波器两通道和探头自身的时差要先校准：交换两只探头各测一次，取平均即可消去。
停转调光扫频。 不方便高速运转时，可以把轴停在 A、B 等幅的 45° 附近，关闭恒光闭环，用信号源给 LED 电流叠加小幅正弦调制（深度 5%–10%），在 10 kHz 到 1 MHz 之间扫频，测 A、B 输出交流分量之比。由于两路看到的是同一个光强调制，比值就是 H_B/H_A，LED 自身的带宽在比值中抵消。两路偏置会给交流分量带来附加项，在 45° 与 225° 两个位置各测一次、取差值可以消掉。这种方法的上限受 LED 驱动的调制带宽和信噪比限制。
能接触电路板时，也可以经小电容向各路跨阻输入端注入测试电流，直接测每路传递函数。
带宽匹配公差
设两路截止频率相对差 ε = (f_A − f_B)/f_A，最高信号频率与截止频率之比 u = f_max/f_c。ε 较小时误差约为 ½·ε·u/√(1 + u²)，于是给定允许误差 E（电角度，rad）后：
ε ≤ 2E·√(1 + u²) / u
2048 线时的允许值：
| 允许误差 | u = 0.2 | u = 0.4 | u = 0.8 |
|---|---|---|---|
| 0.5″ | 5.1% | 2.7% | 1.6% |
| 1″ | 10.1% | 5.3% | 3.2% |
| 2″ | 20.3% | 10.7% | 6.4% |
算例：2048 线、6000 r/min 时 f_max ≈ 205 kHz，f_c = 500 kHz，u ≈ 0.41；要求高速细分误差不超过 1″，两路截止频率之差需控制在约 5% 以内（见图3）。
失配从哪里来：滤波电阻 1%、电容 5% 时，RC 乘积最坏可差约 6%；跨阻带宽约与输入电容的平方根成反比，两路二极管或走线电容差 10%，带宽约差 5%；运放增益带宽积的离散也按平方根进入。对策是两路用同批次、1%–2% 的电容和同一颗双运放，版图对称；必要时提高 f_c 降低 u，同时核算由此增加的噪声。
工程要点
- 先按 f = N·n/60 把转速换成信号频率，再看 Δφ 和幅值比随 f 的曲线，而不是只看某一个转速。
- 带宽失配在低频段等效于 Δτ = (1/f_B − 1/f_A)/(2π) 的时差，500/450 kHz 约 35 ns。
- 区分依据：带宽失配同时出现幅值差且相位差有峰值；时差只有线性相位；静态误差低速就有；采样时差在模拟李萨如上看不到。
- 不便高速运转时，用停转调光扫频测 H_B/H_A，在 45° 和 225° 各测一次消去偏置。
- 带宽匹配公差按 ε ≤ 2E·√(1 + u²)/u 定，2048 线、u = 0.4、1″ 时约 5%，元件选 1%–2% 电容、同批同封装。
小结
转速升高后李萨如变斜椭圆，多是两路低通带宽不一致：相位差先随频率线性增大、在 √(f_A·f_B) 处达到峰值，幅值差则持续增大，误差在常用转速段近似与转速成正比。用分转速段拟合或停转调光扫频把它和时差、静态误差、采样时差分开，再按允许误差反推带宽匹配公差，就能在设计和来料两端把它控制住。
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