信号问题图鉴
症状：信号变成三角波且幅值偏低——间隙过大与窗口卷积
50% 码盘与同节距 50% 检测窗卷积得到三角波，谐波按 1/n² 衰减，三次约 11%，直接 atan2 的细分误差约 ±4.1° 电角度。本文推导半影与衍射两种模糊对三角波和幅值的影响，给出区分二者的试验，以及改窗口占空比或调间隙的判据。
示波器上的 A 相不是正弦，而是带尖顶的三角波，幅值又比标称低了两三成。很多人的第一反应是两件事互相矛盾：间隙小才会出三角波，间隙大才会掉幅值。其实三角波来自码盘与检测窗的几何卷积，掉幅来自间隙带来的模糊，两者可以同时出现；细节距码盘在间隙过大时，三次谐波甚至会因近场自成像重新长出来。本文先推导三角波的来源，再分析半影和衍射两种模糊，最后给出区分方法和改进判据。
三角波的来源：方波与检测窗的卷积
码盘透过率是占空比 50% 的方波，检测窗（指示光栅或探测单元）开口宽 w·p。探测器收到的光是两者重叠的面积，作为位移的函数就是二者的卷积。w = 0.5 时，重叠面积在零和半个窗口面积之间线性升降，得到三角波。其傅里叶系数为两个 sinc 的乘积：
c_n ∝ sinc(n/2) · sinc(n·w)
w = 0.5 时奇次谐波相对基波为 h_n = 1/n²，全部为正：h3 = 11.1%，h5 = 4.0%，h7 = 2.0%。直接用 atan2 解算，细分误差峰值约 0.071 rad，即 ±4.1° 电角度，2048 线约 7.2″（谐波与误差的一般关系见本系列「方圆」一篇）。
还有一个容易混淆的数：三角波的基波幅值只有三角波峰值的 8/π² ≈ 0.81。示波器上量到 1 Vpp 的三角波，细分器“看到”的正弦分量只有约 0.81 Vpp，按李萨如半径或基波定义的幅值自然偏低。
幅值偏低：间隙带来的两种模糊
几何模糊（半影）。 发光区宽 s、距码盘 L 时，影子在间隙 g 处的模糊宽度为 b = s·g/L = g·Δα，Δα 为测量方向上的照明角宽。矩形模糊核使第 n 次谐波乘以 sinc(n·b/p)。在 b < p/2 时，三角波与它卷积后过零附近仍是直线，过零斜率不变；只有尖顶被抹成抛物线，峰峰值降为 1 − b/p，基波降为 sinc(b/p)（见图1）。b = p/3 时 sinc(3b/p) = 0，三次谐波恰好消失，基波保留约 83%。
衍射。 对 50% 码盘，第 n 次谐波乘以 cos(n²πλg/p²)。基波按 cos(πλg/p²) 缓慢下降，三次谐波的变化快 9 倍：在 p²/(18λ) 处过零变号，在 2p²/(9λ) 处完全复原。到那时基波已降到 cos(40°) ≈ 0.77。也就是说，细节距码盘间隙过大时，波形会重新变成三角波，而幅值已明显下降——这正是标题里的症状。
算例（假设 p = 20 μm、λ = 0.88 μm、谱宽 40 nm、照明角宽 20 mrad）：
| 间隙 g | 基波（以紧贴为 1） | h3 | 细分误差 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1.00 | +11.1% | 4.1° |
| 25 μm | 0.98 | +0.2% | 1.4° |
| 50 μm | 0.94 | −11.4% | 4.8° |
| 75 μm | 0.86 | −0.6% | 2.7° |
| 100 μm | 0.76 | +12.5% | 7.3° |
g = 100 μm（约 2p²/(9λ)）时三次谐波比紧贴时还大，误差约 7.3°，幅值却只剩约 76%。照明角宽增大到 50 mrad 时，同一间隙下 h3 降到约 4.8%、误差约 2.7°，基波降到约 0.69，波形变成“圆头三角波”（见图2）。
粗节距时情况相反。p = 50 μm、照明角宽 50 mrad 时，衍射因子在几百微米内都在 0.9 以上，模糊主要来自半影：g ≈ 333 μm 时 b ≈ p/3，三次谐波消失，误差约 0.5°，基波约 0.77。粗节距的三角波一般只在小间隙下出现，间隙增大后单调地圆化。
区分间隙过大与光源半影
- 细扫间隙看 h3。 以约 p²/(36λ) 为步长（p = 20 μm 时约 13 μm）改变间隙并做 FFT：h3 正负交替、周期约 2p²/(9λ)，是衍射；单调减小、在 g·Δα ≈ p/3 附近过零，是半影。
- 换波长。 换一颗红光 LED（其他不变）：衍射特征的位置按 λ 移动，半影不变。
- 改光源尺寸。 在 LED 前加一条窄缝光阑，或把 LED 后移：半影随之减小，衍射不受影响。
- 看波形细节。 峰峰值下降而过零斜率不变、尖顶变成圆弧，是半影型；过零斜率也随间隙变化、平顶与尖顶交替出现，是衍射型。
- 看幅值—间隙曲线的零点。 衍射的第一个零点在 p²/(2λ)（p = 20 μm 时约 227 μm），半影的在 p/Δα（20 mrad 时约 1 mm）。
改善判据：改窗口还是调间隙
- 幅值够、误差大（小间隙下的三角波）：改检测窗占空比。紧贴时 w = 1/3 消去三次谐波，但五次仍约 −4%，误差约 3.4°；w ≈ 0.29 时误差最小，约 1.8°；代价是基波按 sin(πw) 下降，w = 1/3 约少 13%（见图3）。有间隙模糊时误差最小的占空比会移动，要按实际间隙复算；更彻底的做法是多窗口空间滤波或在算法中对三角波做线性化（另见相关篇）。
- 幅值低、波形又是三角（细节距间隙过大）：把间隙收回到基波因子 ≥ 0.9 的范围，即 g ≤ 约 0.14·p²/λ（p = 20 μm 时约 64 μm），并避开 2p²/(9λ) 附近的三次谐波复现区。
- 粗节距、扩展光源：可以有意把工作间隙放在 g·Δα ≈ p/3 附近，用半影当低通滤波器，以约 17% 的基波换取近似正弦的波形。
工程要点
- 50% 码盘配 50% 检测窗，紧贴时就是三角波：h_n = 1/n²，误差约 ±4.1° 电角度。
- 三角波的基波只有峰值的 0.81，用峰峰值和用李萨如半径评估幅值，会差约 19%。
- 半影型模糊保持过零斜率，峰峰值按 1 − b/p 下降；b = p/3 时三次谐波为零。
- 细节距下三次谐波在 2p²/(9λ) 处复现，此时基波只剩约 0.77，“三角波 + 低幅值”是间隙过大的信号。
- 细扫间隙、换波长、加光阑三项试验可以把衍射和半影分开。
- 误差问题优先改检测窗占空比或空间滤波，幅值问题优先收回间隙；两者要用同一个模型一起核算。
小结
三角波是码盘方波与同节距检测窗卷积的直接结果，幅值偏低则来自间隙带来的半影和衍射。粗节距下模糊以半影为主，三角波随间隙单调圆化；细节距下衍射使三次谐波在 2p²/(9λ) 处复现，出现“三角波又低幅值”的症状。先用细扫间隙、换波长和改光源尺寸分清来源，再决定改检测窗占空比还是调整间隙。
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