症状：角度误差以每转两次为主——码盘变形与图形椭圆

二次谐波误差不能被对径双读数头抵消，常见来源是图形椭圆、粘接应力造成的面内二次变形；轴系的 2 次平移误差则会被抵消。相对椭圆度 ε 产生约 ε·sin2θ 的误差，r = 20 mm 时半轴偏离 0.1 μm 约 1″。本文给出各来源的判别方法与排查流程。

用参考编码器标定一台测角装置，偏心造成的一次谐波已经靠对径双读数头消掉了，剩下的误差曲线每转起伏两次，峰峰值一两角秒，怎么调对心都不变。二次谐波在高精度编码器里很常见，因为它恰好是对径平均消不掉的最低阶。要处理它，先得分清是码盘图形本身拉成了椭圆、码盘粘上去以后被拉变形，还是轴系在转动中每转晃两次。

模型：椭圆怎样变成角度误差

设刻线图形相对理想圆在两个正交方向上各伸缩 ±ε，即沿某方向的半径变为 r + δ、垂直方向变为 r − δ，ε = δ/r。刻线的视在角满足 tanψ′ = (1 − ε)·tanψ/(1 + ε)，展开得

Δθ ≈ ε·sin2(θ − θ0)

θ0 为椭圆主轴方位。r = 20 mm、δ = 0.1 μm 时 ε = 5×10⁻⁶，幅值约 1.03″，用数值解核对一致。一个微米的十分之一就是一角秒，这是二次误差难缠的原因。

要注意，角度误差来自刻线的切向位移，而不是径向。均匀仿射拉伸（掩模写入时两轴比例差即属此类）切向与径向位移幅值相等，误差为 δ/r；薄环被压成椭圆的不伸长变形，切向位移只有径向的一半，误差为 δ/(2r)。所以用影像仪测得码道圆的椭圆度，不能直接换算成角度误差，应直接测刻线角位置。

三类来源与对径平均

对径两读数头相距 180°，sin2θ 在 θ 与 θ + 180° 处相同，所以凡是固定在图形上的二次形状，两头读数同号，平均后保留。轴系不同：轴心的平移在两头造成大小相等、方向相反的切向位移，不论它每转几次，对径平均都会抵消。

（数值均为示例，见图2左。）马鞍形翘曲经读数头的切向耦合也会带来 2 次误差，对径平均同样消不掉，翘曲的测量见本系列幅值每转两次一篇。

排查流程

1. 确认现象：以 Z 为基准多转同步平均，2 次分量在各转之间重复，相位稳定。不同步的 2 次成分多与轴承有关，另行处理。
2. 单头与平均对比：有两个读数头时分别取各自的 2 次分量与平均值；只有一个读数头时，把它转到对径位置再测一次。单头有、平均后消失，是轴系平移，用电容测头或标准球测轴的 2 次径向误差运动核实；平均后仍在，是码盘图形或变形。
3. 自由态测图形：把码盘以低夹持力放在精密转台上（三点支承或弱真空吸附），用影像仪或单读数头测若干刻线的角位置，得到图形本身的 2 次分量。与装配后的结果比较：两者幅值、方位相近，是图形椭圆；装配后明显变大，是粘接或夹持变形。
4. 转 90° 重装：对可拆的夹持结构，或在胶固化前、或在标定转台上，把码盘相对轮毂转 90° 再测。以轴上标记为相位基准，跟码盘走的 2 次分量 D 反号，跟轴和轮毂走的 H 不变：P₁ = H + D，P₂ = H − D，于是 D = (P₁ − P₂)/2，H = (P₁ + P₂)/2。
5. 变温复测：在两个温度下测 2 次分量。粘接应力引起的部分随温差线性变化，图形椭圆基本不变。
6. 对症处理：图形椭圆找掩模写入或拷贝工序，校正两轴比例；粘接变形查轮毂圆度、胶量对称性和夹持方式，改用低应力胶或均匀环形粘接；稳定且不随温度变化的残余，可用 2 次谐波补偿表消除。

工程要点

• 二次误差幅值约 δ/r：r = 20 mm 时半轴偏离 δ = 0.1 μm 即约 1″，亚微米的变形就要管。
• 对径双读数头只消奇数阶和轴心平移，图形椭圆和码盘面内变形照样保留。
• 测码道圆的椭圆度不等于测角度误差，仿射变形与圆环弯曲的换算系数差一倍，以刻线角位置为准。
• 单头与对径平均对比是第一步：能分开轴系与码盘两大类来源。
• 转 90° 重装的相量差除以 2 得跟码盘走的部分，和除以 2 得跟轴、轮毂走的部分。
• 粘接引起的 2 次分量随温度变化，补偿表只适合补稳定的那部分。

小结

角度误差以每转两次为主，说明有二重对称的形状进入了读数：图形椭圆和码盘面内变形在对径平均后保留，轴系的 2 次平移则被抵消。先用单头与平均对比分出轴系，再用自由态测量、转 90° 重装和变温复测把图形与粘接变形分开，就能确定该回到掩模工序还是改进装配。

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