码盘参考设计
高线数小半径还是低线数大半径：同等分辨率下的误差对比
每转 2²⁰ 计数可用 r = 10 mm、4096 线细分 256 倍，或 r = 20 mm、1024 线细分 1024 倍。本文逐项算出偏心、细分、刻划、噪声、间隙与频率：单读数头时后者合成误差约 47″、前者约 71″，两方案临界偏心约 0.6 μm。
同样要每转 2²⁰（1 048 576）计数、每计数约 1.24″，可以走两条路：在 r = 10 mm 上刻 4096 线，细分 256 倍；或在 r = 20 mm 上刻 1024 线，细分 1024 倍。分辨率一样，误差构成却完全不同。前者线密、半径小，偏心误差大而细分误差小；后者反过来。本文逐项算出两种方案的误差分量，再给出什么情况下该选哪一种。
各误差分量怎样随 r 和 N 变化
设读数半径 r，线数 N，细分倍数 k，每转计数 C = N·k。
偏心（单读数头，一次谐波）：Δθ_e = e / r，e 为图形中心相对回转轴的偏移。
细分误差：与信号周期成正比。信号周期 P = 360°/N，若细分误差为周期的 ε_i（峰值，相对值由信号质量决定），则 Δθ_i = ε_i·P。
刻划误差：若主要来自刻线的线位置误差 δx（掩模写入、曝光、基板变形），角度误差为 Δθ_g = δx / r。若来自角度型误差（如极坐标写入的转台误差），则与 r 无关。
噪声：信号相对噪声 σ_n/A 换成角度为 σ_θ = (σ_n/A)·P/(2π)，也与周期成正比。
间隙：影像式读数的最大间隙约 g_max ≈ 0.205·p²/λ（推导见本文库影像式读数线数上限一文），节距 p = 2πr/N。
信号频率：f = N·n/60，n 为转速（r/min）。
可以看到，r 只进入偏心、线位置型刻划误差和节距；N 只进入细分、噪声、节距和频率。两种方案的差别就是这两组量的此消彼长。
算例：10 mm/4096 线对 20 mm/1024 线
示例假设：单读数头残余偏心 e = 3 μm，细分误差为周期的 1%（未补偿），δx = 0.3 μm，信噪比 A/σ_n = 500，λ = 0.88 μm。
| 项目 | A：r = 10 mm，4096 线 | B：r = 20 mm，1024 线 |
|---|---|---|
| 细分倍数 | 256 | 1024 |
| 节距 | 15.3 μm | 122.7 μm |
| 信号周期 P | 316.4″ | 1265.6″ |
| 偏心 e/r | 61.9″ | 30.9″ |
| 细分误差 1%·P | 3.2″ | 12.7″ |
| 刻划 δx/r | 6.2″ | 3.1″ |
| 合计（单读数头） | 71.2″ | 46.7″ |
| 合计（双读数头，偏心抵消） | 9.4″ | 15.8″ |
| 噪声 σ_θ | 0.10″ | 0.40″ |
| 影像式最大间隙 | 约 55 μm | 约 3.5 mm |
| 6000 r/min 信号频率 | 409.6 kHz | 102.4 kHz |
| 码盘外径（示例） | 约 Φ24 | 约 Φ44 |
合计取各分量峰值之和。偏心是一次谐波，细分误差是每周期 1、2、4 次的高阶谐波，阶次相差上千倍时，高阶项在一次谐波峰值附近要走完很多个周期，两者峰值几乎一定会叠到一起，所以峰值直接相加并不保守。
结论很清楚：单读数头时，偏心占了 A 方案的 87%，B 方案靠加倍的半径把它减半，合计少约 24″；双读数头抵消偏心后，剩下的主要是细分误差，A 方案的周期只有 B 的四分之一，合计反而小约 6″。
临界偏心：什么时候大半径更划算
令两方案单读数头合计相等，B 优于 A 的条件为
(e + δx)·(1/r_A − 1/r_B) > ε_i·(P_B − P_A)
其中 P 用弧度，r 用 mm。代入 1/r_A − 1/r_B = 0.05 mm⁻¹、P_B − P_A = 949.2″ ≈ 4.60 mrad、ε_i = 1%，得 e + δx > 0.92 μm，即临界偏心 e* ≈ 0.62 μm。ε_i 取 2% 时 e* ≈ 1.54 μm，取 0.5% 时约 0.16 μm。
单读数头编码器装配后的残余偏心一般在微米量级，远大于 0.6 μm，这时低线数大半径占优；只有采用对径双读数头、上轴后做偏心补偿，或者细分误差本身已经很小时，高线数的优势才显现出来。图2把三种线数的合计误差画成 r 的函数：同一半径下线数越多越好，但 4096 线在间隙 0.1 mm 时要求 r ≥ 13.5 mm，A 方案的 10 mm 落在节距不足的虚线段上。
其他代价
- 间隙与读数方式：A 方案节距 15.3 μm，影像式读数间隙要压到约 55 μm 以下，端跳和轴向窜动的余量很小，常常要改用干涉式或三光栅读数。B 方案的间隙几乎不受限制。
- 信号频率：A 方案在 6000 r/min 时 409.6 kHz，前端带宽和比较器要按此设计；B 方案只有四分之一。
- 细分电路：B 方案每周期细分 1024 份，1 份约 6.1 mrad 电角度，噪声和 ADC 位数要求更高，噪声角度是 A 的 4 倍。
- 外形与转动惯量：同厚度时转动惯量按外径四次方增长，Φ44 约为 Φ24 的 11 倍；对伺服电机通常影响不大，对空间受限的关节模组则是硬约束。
工程要点
- 先判断偏心能否被抵消：单读数头时偏心一般占合成误差的大头，示例中 A 方案约 87%，应优先加大读数半径。
- 用临界偏心做选择：e* = ε_i·(P_B − P_A)/(1/r_A − 1/r_B) − δx，示例约 0.6 μm，实际偏心大于它就选低线数大半径。
- 双读数头或上轴补偿后改看细分误差：误差与信号周期成正比，示例中 4096 线方案合计 9.4″，优于 1024 线的 15.8″。
- 高线数小半径要先核间隙：r = 10 mm、4096 线节距 15.3 μm，影像式读数间隙须小于约 55 μm。
- 低线数大半径要核细分链路：噪声角度与周期成正比，细分倍数越高，ADC 和模拟前端的信噪比要求越高。
- 刻划误差要分清类型：线位置型随 r 减小，角度型与 r 无关，加大半径只对前者有效。
小结
同样的分辨率，线数和半径的组合决定了误差的构成：半径管偏心和线位置误差，线数管细分误差、噪声和节距。单读数头且偏心在微米量级时，低线数大半径更准；偏心被抵消后，高线数小半径更准，但要付出间隙和带宽的代价。用临界偏心公式代入自己的参数，就能直接判断走哪条路。
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