旋转码盘上的距离编码参考标记：最小转角与间距推导

码盘上的距离编码要求 K 个标记的间距两两相差至少 Δ，且总和正好一圈。本文推导闭合条件、标记数上限和最大回零转角，说明交错排列可把回零转角降到约 2N/K + Δ，并给出 2048 线 32 个标记、最大回零 23.0° 的算例。

增量码盘只有一个零位标记时，上电后最坏要转一整圈才能找到零位。距离编码参考标记在直线光栅上已很成熟（原理和直线设计见本文库距离编码的几篇），把它移植到码盘上，可以让电机只转十几到二十几度就知道绝对角度。码盘与直线码带最大的不同是没有两端：所有间距加起来必须正好是一整圈，最后一个标记要和第一个首尾相接。本文推导这个闭合条件下的间距、标记数和最大回零转角。

编码规则与闭合条件

以增量道的信号周期为单位，一圈共 N 个周期（2048 线码盘 N = 2048）。在圆周上放 K 个参考标记，相邻标记的间距为 g_1 … g_K，要求：

• 所有间距两两不同，且任意两个间距至少相差 Δ 个周期，这样计数误差小于 Δ/2 时仍能识别（Δ 的取法见本文库距离编码容错一文，Δ = 3 可纠正 ±1 个周期）；
• 最小间距不小于 g_min，保证读数窗内不会同时出现两个标记；
• 闭合：Σ g_i = N。

最简单的取法是等差：g_i = D + (i − 1)·Δ。闭合条件为

K·D + Δ·K(K − 1)/2 + R = N

其中 R 是余数（0 ≤ R < K）。R 不为零时，给最大的 R 个间距各加 1 个周期即可：它们之间仍相差 Δ，与较小的那组之间相差 Δ + 1，区分能力不减。由 D ≥ g_min 得到标记数上限：K 取满足 ⌊(N − Δ·K(K − 1)/2)/K⌋ ≥ g_min 的最大值。

转过任意两个相邻标记，测得的间距就能确定是第几段，从而知道刚过的标记的绝对角度。正转时刚过的是该段的终点标记，反转时是起点标记，所以解码还要用到 A/B 的方向。偏心对间距计数的影响只来自参考道与增量道的半径差：偏心 20 μm、两道半径 15 mm 与 14.2 mm 时，差分幅值只有约 0.02 个周期，可以忽略。

最大回零转角：排列顺序很关键

从任意位置出发，要看到两个标记，最坏情况是刚错过一个标记，于是要走完两段相邻间距。最大回零转角为

T_max = max(g_i + g_(i+1))

间距按递增顺序排列时，最大的两段相邻，T_max ≈ 2N/K + (K − 2)·Δ。它随 K 先减后增，在 K = √(2N/Δ) 附近最小。

把间距按“最小、最大、次小、次大……”交错排列，相邻两段之和几乎相等，T_max ≈ 2N/K + Δ。所有相邻和的平均值正好是 2N/K，所以这已经贴近下限，而且 K 越大越好，只受 g_min 限制。交错排列中 g_i + g_(K+1−i) 为常数，每隔一个标记就正好均布，这和直线距离编码的“固定标记 + 可变标记”是同一种结构；圆周上它自动满足闭合条件。

2048 线算例

示例参数：r = 15 mm 时信号周期约 46.0 μm；g_min 取 16 个周期（约 0.74 mm，包含参考标记图形长度、读数窗和余量，属假设值）；Δ = 3。

1. 标记数上限：K = 32 时 D = ⌊(2048 − 1488)/32⌋ = 17 ≥ 16，K = 33 时 D 小于 16，故 K = 32。
2. 余数 R = 2048 − 32 × 17 − 1488 = 16，最大的 16 段各加 1。间距为 17、20 … 62（16 段）和 66、69 … 111（16 段），总和 2048。
3. 交错排列：17、111、20、108、23、105 ……、62、66。每隔一个标记间隔 128 个周期（22.5°）。
4. 最大回零：递增排列为 108 + 111 = 219 个周期（38.5°），交错排列为 111 + 20 = 131 个周期（23.0°）。起点均匀分布时的平均回零转角分别约 19.7° 和 15.9°，单个零位标记则是最大 360°、平均 180°。

改变 Δ 的结果（g_min = 16 周期）：

版图与解码要点

参考标记的中心要落在整数个信号周期上，并与增量道刻线同版对齐，这样参考脉冲门控到增量信号的一个象限后，间距计数是整数。若用四倍频计数，间距和 Δ 都乘 4。解码表只有 K 项：间距值 → 段号 → 起点和终点标记的角度；测得的间距与最近表值相差超过 Δ/2 时应报错，并可再转过第三个标记复核。

工程要点

• 闭合条件 K·D + Δ·K(K − 1)/2 + R = N，余数 R 加给最大的 R 段间距，不影响识别。
• 标记数由最小间距决定：g_min 包含标记图形和读数窗，2048 线、g_min = 16 周期、Δ = 3 时 K = 32。
• 一定用交错排列：最大回零从 2N/K + (K − 2)Δ 降到约 2N/K + Δ，示例中从 38.5° 降到 23.0°。
• 交错排列等价于固定标记均布、可变标记插在中间，示例中固定标记间隔 128 个周期。
• Δ 取 3 可纠正 ±1 个周期的计数误差，代价是回零转角从 14.6° 增加到 23.0°。
• 解码要用 A/B 方向区分刚过的是段起点还是终点，标记中心与增量刻线同版对齐。

小结

旋转码盘上的距离编码要满足三条：间距两两相差至少 Δ、最小间距不小于 g_min、总和正好一圈。最小间距决定标记数，标记数和排列顺序决定最大回零转角；交错排列使相邻两段之和接近平均值 2N/K，已贴近圆周布置的下限。2048 线码盘用 32 个标记，最大回零约 23°，比单个零位标记少一个数量级以上。

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