玻璃与基材科学
晶体基材的各向异性膨胀：面内膨胀不等如何产生 2 次角度误差
单晶基材沿不同晶轴的线膨胀系数不同，晶片面内膨胀不等时放射状刻线会按 2 倍角偏转。本文推导误差幅值 Δα·sin²ν·ΔT/2，算出蓝宝石 A 面约 5″、石英 X/Y 切约 31″（ΔT = 50 K，示例参数），并给出取向、读数头布置与温度补偿对策。
非晶玻璃的热膨胀各向同性，升温只会让码盘整体放大一点，放射状刻线的角度位置不变。换成单晶基材（蓝宝石、晶体石英）情况就不同了：晶体的线膨胀系数随方向变化，一片面内两个方向膨胀不等的晶片，升温后圆会变成椭圆，放射线随之偏转。这个误差每转出现两次，与读数半径无关，对径双读数头也消不掉。本文把它从热膨胀张量一直算到角秒，并回答两个工程问题：哪些切向安全，剩下的该怎么压。
模型：从膨胀张量到 2 倍角误差
对三方、六方、四方晶系（蓝宝石、α-石英都属这一类），线膨胀系数只有两个独立值：沿光轴（c 轴）的 α∥ 和垂直于 c 轴的 α⊥。任意方向与 c 轴夹角为 χ 时：
α(χ) = α⊥ + (α∥ − α⊥)·cos²χ = α⊥ + Δα·cos²χ
其中 Δα = α∥ − α⊥。晶片法线与 c 轴夹角为 ν 时，面内有两个主轴：一个沿 c 轴在面内的投影（它与 c 轴夹角为 90° − ν），膨胀系数 α⊥ + Δα·sin²ν；另一个垂直于 c 轴，膨胀系数就是 α⊥。面内两主轴的差值为
Δα_eff = Δα·sin²ν
C 面（ν = 0）为 0，A 面（ν = 90°）为 Δα，R 面（法线与 c 轴约 57.6°）为 0.713·Δα。立方晶系的硅没有这个问题：它的热膨胀张量是各向同性的（弹性模量各向异性，是另一回事）。
设刻线在 T₀ 时按理想放射状写成，升温 ΔT 后两主轴应变为 ε_x = α_x·ΔT、ε_y = α_y·ΔT。晶轴坐标中角位置 φ 的点 (r·cosφ, r·sinφ) 移到 (r(1+ε_x)cosφ, r(1+ε_y)sinφ)，角度偏移为
tan(φ + δ) = (1+ε_y)/(1+ε_x)·tanφ，δ ≈ (ε_y − ε_x)/2 · sin2φ
误差幅值
A₂ = Δα_eff·ΔT / 2
其中 φ 从 x 轴量起。这个结果有三个特点：与半径 r 无关；均匀膨胀的各向同性部分完全不出现；φ = 45° 方向偏转最大。读数头固定、盘转一周，φ 扫过 360°，误差就出现两个周期（见图1右）。同样的形式也出现在拉伸塑料薄膜码盘上（详见本文库另一篇），只是晶体的各向异性来自晶格，随批次几乎不变。
数值算例：50 K 温差
取 ΔT = 50 K（相对刻线写成时的温度）。文献里蓝宝石的 Δα 大小约 1 ppm/K 量级，但各来源的具体数值、符号甚至随温度的变化都不一致，下表取 0.5、1.0、1.6 ppm/K 三档作示例；α-石英 α∥ 约 7.1–7.5、α⊥ 约 13.2–13.7 ppm/K，Δα 约 6 ppm/K（符号与蓝宝石无关，只影响相位）。
| 基材与切向 | Δα_eff（ppm/K） | Δε = Δα_eff·ΔT | 2 次误差幅值 |
|---|---|---|---|
| 蓝宝石 C 面 | 0 | 0 | 0 |
| 蓝宝石 R 面（Δα = 1.0） | 0.71 | 36 ppm | 约 3.7″ |
| 蓝宝石 A 面（Δα = 0.5 / 1.0 / 1.6） | 0.5 / 1.0 / 1.6 | 25 / 50 / 80 ppm | 约 2.6″ / 5.2″ / 8.3″ |
| 石英 Z 切 | 0 | 0 | 0 |
| 石英 X 或 Y 切（Δα ≈ 6） | 6 | 300 ppm | 约 31″ |
以 A 面、Δα = 1.0 ppm/K 为例：Δε = 1.0×10⁻⁶ × 50 = 50 ppm，A₂ = 25×10⁻⁶ rad × 206265 ≈ 5.2″。用精确式 arctan 直接数值计算得 5.157″，小量近似的误差不到万分之三。对 2048 线码盘，一个信号周期约 632.8″，5.2″ 相当于周期的 0.8%；石英 X/Y 切的 31″ 则接近周期的 5%，在需要高倍细分的场合不能忽略。反过来，要把 2 次误差限制在 1″ 内，允许的温度偏离为
ΔT_max = 2·e_max / Δα_eff
e_max = 1″ = 4.85 μrad 时，A 面蓝宝石（Δα = 1.0）约 9.7 K，R 面约 13.6 K，石英 X/Y 切只有约 1.6 K。
对策：取向、读数头与温度补偿
1. 优先选 C 面（蓝宝石）或 Z 切（石英）。 光轴垂直于盘面时，面内各向同性，2 次项为零。切向有偏差时，面内差值 Δα·sin²γ 以平方方式减小：γ = 1° 时仅为 Δα 的 3×10⁻⁴；蓝宝石 Δα = 1.0 ppm/K、ΔT = 50 K 下，γ = 5° 的误差也只有约 0.04″，Z 切石英同样 γ = 5° 约 0.24″（图3左）。所以 C 面的切向公差可以放宽到度的量级，没必要为此加价。
2. 读数头布置按谐波选。 把 N 个读数头的信号取平均，k 次谐波的残留比例为 |Σe^(ikφ_j)|/N。对径两头（180°）抵消 1 次（偏心），但 2 次谐波完全保留；相隔 90° 的两头恰好抵消 2 次，而 1 次谐波还剩 0.707；四头均布两者都抵消（图3右）。若必须用 A 面或 R 面，要么用 90° 或四头布置，要么在温度范围内接受上表的幅值。
3. 温度补偿。 A₂ = Δα_eff·(T − T₀)/2 与晶轴方向绑定：相位由晶轴相对读数头的位置决定，幅值正比于相对写入温度的温差。出厂标定记下晶轴方向，使用时再测温度，两个参数就能算出补偿量。注意冷却时幅值反号。
4. 其他差异。 A、R 面基片对光有双折射（蓝宝石 Δn 约 0.008，1 mm 厚在 850 nm 附近延迟约 9 个波长量级），对偏振敏感的读数方式要核对；C 面沿 c 轴通光，正入射时不产生双折射。
工程要点
- 面内各向异性误差 A₂ = Δα·sin²ν·ΔT/2，与读数半径无关；用 ΔT_max = 2·e_max/Δα_eff 倒推允许的温度偏离。
- 蓝宝石优先选 C 面，切偏 5° 以内 Δα_eff 缩小两个数量级以上；A、R 面只在有明确理由时使用。
- 石英选 Z 切；X/Y 切 Δα 约 6 ppm/K，50 K 下误差约 31″，不适合高细分场景。
- 单读数头与对径双头都不能抑制 2 次谐波；需要时用 90° 或四头均布。
- 蓝宝石 Δα 的数值和符号因文献而异，选型前向供应商要实测的膨胀数据，或用热循环测 2 次谐波自行标定。
- 热循环验证时对整圈误差做傅里叶分解，单独看 2 次分量随温度的变化，与偏心引起的 1 次分量区分开。
小结
单晶基材的热膨胀由二阶张量描述，只要晶片面内两个主轴的膨胀系数不同，升温就产生每转两次、与半径无关的角度误差，幅值为 Δα_eff·ΔT/2。蓝宝石 C 面和石英 Z 切面内各向同性，是合适的选择；A 面、R 面或石英 X/Y 切则要靠读数头布置、温度控制和补偿来管理。
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