比刚度与基材选择：同尺寸码盘在不同材料下的挠度与固有频率

同尺寸码盘的一阶频率正比于 √(E/ρ)，自重挠度满足 w ≈ 1.2g/(2πf₁)²，与材料无关。本文用环形板精确解算六种基材（示例 Ø200 mm、2 mm）的 f₁ 与下垂量，比较同频率下的厚度与质量，给出大直径码盘的选材依据。

码盘做大、做薄之后，盘面会不会塌、会不会晃，就和刻线精度一样要紧：反射式和小间隙读数头对盘面轴向位置敏感，自重下垂与振动都会变成读数间隙的变化。常见的建议是“换个刚度高的材料”，可玻璃、蓝宝石、硅的弹性模量相差数倍，密度也不同，到底该看哪个量？本文用环形板模型把挠度和固有频率算清楚，结论只有一个量起作用：比刚度 E/ρ，而且挠度和频率其实是同一件事的两种说法。

模型：两个公式与一个等式

码盘夹在轮毂上，按内缘（夹持半径 a）固支、外缘（半径 R）自由的环形薄板计，厚度 t。弯曲刚度

D = E·t³ / [12(1 − ν²)]

一阶固有频率为

f₁ = λ² / (2πR²) · √(D / ρt) = λ² / (2πR²·√(12(1 − ν²))) · t · √(E/ρ)

其中 λ² 是由贝塞尔函数精确解求得的频率系数，ν = 0.2、a/R = 0.2 时为 4.80，a/R = 0.25 时为 5.59。最低阶是含 1 个节径的摇摆型，比轴对称的伞形低 2%–6%。盘面水平、只受自重 ρg·t 时，外缘下垂量为

w = α·ρg·t·R⁴ / D = 12α(1 − ν²)·g·R⁴·ρ / (E·t²)

α 只取决于几何：a/R = 0.2 时约 0.054，0.25 时约 0.043。两式比较可见：f₁ ∝ (t/R²)·√(E/ρ)，w ∝ (R⁴/t²)·ρ/E，材料只通过 E/ρ（和接近 1 的 1 − ν² 修正）进入。再把两式合并：

w ≈ κ·g / (2π·f₁)²，κ ≈ 1.2–1.4

κ 由几何决定，与材料无关。也就是说自重挠度就是“重力加速度除以角频率平方”：一阶频率 240 Hz 的盘下垂约 5.4 μm，100 Hz 约 31 μm。所以不必把挠度和频率当成两个指标，知道 f₁ 就知道自重下垂（图3左，所有点落在同一条线上）。

数值算例：Ø200 mm、厚 2 mm

假设外径 200 mm，夹持半径 20 mm，厚 2 mm，盘面水平。材料取典型值（蓝宝石取 a 向量级、各向异性约 ±10%，单晶硅取 130–169 GPa 的中间值，无碱玻璃为量级）：

四种玻璃的 E/ρ 只差 20% 左右，f₁ 相差约 7%，从钠钙换到熔融石英几乎得不到刚度。蓝宝石和硅的 E/ρ 是玻璃的 2–3 倍，f₁ 升高 1.5–1.8 倍，下垂降到约 0.3–0.4 倍。

尺度律更重要：外径加倍，f₁ 降为 1/4，下垂变成 16 倍；厚度加倍，f₁ 加倍，下垂降为 1/4。同样的硼硅玻璃盘，Ø200 mm、1 mm 厚只有约 120 Hz，下垂约 22 μm；换成 Ø80 mm、1 mm 厚（夹持半径 10 mm），f₁ 约 870 Hz，下垂只有 0.44 μm，小盘根本不用担心。

同频率设计：蓝宝石变薄，但没有变轻

把要求改成 f₁ ≥ 500 Hz，反解厚度：

t_min = 2πR²·f₁ / λ² · √(12(1 − ν²)ρ / E)

Ø200 mm 时，硼硅、钠钙约 4.2 mm，熔融石英约 3.9 mm，硅约 2.7 mm，蓝宝石约 2.3 mm（图2）。质量 ∝ ρ·t ∝ ρ^1.5/√E，相对硼硅玻璃：蓝宝石约 1.00，熔融石英 0.92，硅 0.68，钠钙 1.12。蓝宝石更薄，但密度大，同频率下并不更轻，转动惯量也不会改善；硅轻约三成，却在 850–950 nm 近红外几乎不透明，只能用于反射式或开缝式图形（详见本文库另一篇）。

比刚度之外：夹持半径与转速

夹持半径。 a/R 从 0.2 增到 0.4，λ² 由 4.80 升到 9.07，f₁ 几乎翻倍，α 由 0.054 降到 0.018，下垂约为原来的三分之一。加大轮毂粘接环半径比加厚盘子或换材料更便宜，前提是读数道不被轮毂挡住。

转速。 离心应力正比于 ρω²R²，与 E 无关。按自由内孔近似，硼硅玻璃 Ø200 mm 在 6000 r/min 时孔边环向应力约 7 MPa，20000 r/min 约 79 MPa（不含装配和粘接应力）。所以中低速时限制选材的是刚度和振动，高速时才轮到比强度与边缘缺陷。另外转频及其低次谐波要和 f₁ 拉开，旋转还会使节径模态在静止坐标系中分裂，要用旋转盘模型另行核算。

工程要点

• 先算 f₁，再用 w ≈ 1.2g/(2πf₁)² 估自重下垂；盘面水平且间隙容差在几十微米以内时才需要核算。
• 玻璃之间不要为刚度换材料：E/ρ 只差 20% 左右，要提高 f₁ 靠加厚（f₁ ∝ t）、缩小外径（∝ 1/R²）或加大夹持半径。
• 大而薄的玻璃盘要实际计算 f₁：同为硼硅，Ø150 mm、3 mm 厚约 640 Hz，Ø200 mm、2 mm 厚只有约 240 Hz。
• 同频率比较要看质量与惯量，不能只看厚度：蓝宝石变薄不减重。
• 蓝宝石和硅的 E 随晶向变化，表中数字只是量级，定型前向供应商要晶向与实测模量。
• 实际 f₁ 取决于粘接环刚度，比理想固支低；样件上用敲击或激光测振验证。

小结

同尺寸码盘的一阶频率与 √(E/ρ) 成正比，自重挠度与 ρ/E 成正比，而且 w ≈ κg/(2πf₁)² 把两者连成一件事。玻璃之间的比刚度差别很小，选材不会带来实质变化；蓝宝石和硅可以把 f₁ 提高约 1.5–1.8 倍，但蓝宝石并不减重，硅又受限于近红外不透明。大直径码盘的刚度主要靠厚度、外径和夹持半径来取得。

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