碼盤關鍵引數的測量不確定度：線寬、光學密度與偏心

線寬、光學密度和偏心是碼盤檢驗的三項核心引數。本文按 GUM 方法拆解各自的主要不確定度來源，給出邊緣閾值偏差、雜散光本底和一次諧波擬合的定量公式，並用算例說明不確定度如何吃掉公差。

一片 25 μm ±1 μm 線寬的碼盤，影像測量儀讀出 25.6 μm，判合格還是不合格？如果這臺儀器換個邊緣演算法就能讀出 25.0 μm 或 26.2 μm，那麼“25.6”本身就沒有多少資訊量。檢驗資料能不能用來判定，先要回答測量結果有多大的不確定度，以及它佔公差的多少。

圖1 線寬測量時，邊緣判定閾值從 30% 變到 70%，測得線寬隨之偏移約 ±0.63 μm（模糊 σ = 0.6 μm 的模型計算）

評定框架：GUM 的四步

按測量不確定度表示指南（GUM）的思路，評定分四步：

寫出測量模型 y = f(x₁, x₂, …, x_n)，把所有影響量都列為輸入。
逐項評定標準不確定度 u_i：用重複測量的統計方法得到的叫 A 類；由證書、手冊、經驗給出區間再假設分佈得到的叫 B 類。只知道誤差在 ±a 內均勻分佈時，u = a/√3。
合成：u_c = √(Σ c_i²·u_i²)，c_i 為靈敏係數（∂f/∂x_i），各輸入相關時還要加協方差項。
擴充套件：U = k·u_c，通常取 k = 2，對應約 95% 的包含機率。

關鍵在第 1 步：模型漏掉一個影響量，後面算得再細也是低估。

線寬：邊緣判定是大頭

影像法測線寬，本質是在灰度剖面上找兩條邊。成像系統有模糊，鉻線的銳利邊緣在影象上變成一段斜坡。把模糊近似為標準差 σ 的高斯，線寬遠大於 σ 時，用歸一化閾值 t 判邊，測得線寬為：

w_m = w + 2σ·z(t)

其中 w 為真實線寬，z(t) 為標準正態分佈的 t 分位數（暗線亮背景、低於閾值判為線條）。t = 50% 時 z = 0，無偏；σ = 0.6 μm 時，t 取 40% 偏 −0.30 μm，取 70% 偏 +0.63 μm，見圖1。

這說明兩件事：一是不同儀器、不同軟體的閾值約定不一致，資料就不可比；二是即使固定 50%，“光學邊緣”也不一定等於圖紙定義的“幾何邊緣”，鉻層側壁斜度、照明相干性、離焦都會讓剖面不對稱。這部分偏差在沒有用線寬標準樣板校準之前，只能按區間估計。

其餘來源：

畫素當量標定：用標準刻尺標定，相對不確定度 0.1% 時對 25 μm 線寬只貢獻 0.025 μm；但對直徑、節距這類長尺寸，同樣的相對量就變成主要項。
溫度：硼矽玻璃 25 μm 線寬在偏離 20 ℃ 2 K 時變化約 0.0002 μm，可忽略；而 40 mm 外徑變化約 0.26 μm，測外徑時必須計入。
重複性：同一位置重複 10 次，取單次標準差作 A 類分量。

圖2 是一個算例預算（假設資料）：改進前邊緣判定按 ±0.30 μm 矩形分佈計，u_c ≈ 0.20 μm，U ≈ 0.40 μm；用線寬標樣把閾值偏差校準到 ±0.10 μm、並取 4 次平均後，U ≈ 0.18 μm。

圖2 線寬測量不確定度預算算例：邊緣判定項佔主導，校準閾值和多次平均後 U 從 0.40 μm 降到 0.18 μm

光學密度：本底決定上限

OD = −lg(I_t / I₀)，I_t 為透過光，I₀ 為參考光。隨機噪聲的傳播為：

u(OD) = 0.434·√[(u(I_t)/I_t)² + (u(I₀)/I₀)²]

透過光 I_t 的相對噪聲為 1%、參考光噪聲可忽略時，OD 的不確定度只有約 0.004，並不大。真正的問題是系統性本底：雜散光、探測器暗電流、未完全遮擋的旁路光。設本底相當於入射光的 T_s，測得值為 OD_m = −lg(T + T_s)。T_s = 0.01% 時，OD 3 讀成 2.96，OD 4 只能讀成約 3.70，見圖3。所以高 OD 測量要先測“全遮擋”時的讀數並扣除，且殘餘本底應低於目標穿透率的 1/10。此外 OD 與波長有關，測量波長應接近讀數頭光源的波長。

偏心：兩次一次諧波擬合之差

碼盤偏心一般指圖形中心（對心圈）相對安裝基準（內孔）的偏離。常見測法是把碼盤放在精密氣浮轉檯上，相機每轉等間隔採集 N 個點，分別得到對心圈和內孔邊緣的徑向位置，各自擬合

r(θ) = r₀ + a·cosθ + b·sinθ

兩組 (a, b) 相減後取模，就是圖形相對內孔的偏心 e，與碼盤在轉檯上放偏了多少無關；高次諧波屬於圓度，不計入偏心。小尺寸碼盤也可以在影像測量儀上直接擬合兩個圓，求圓心距。

等間隔取樣、單點噪聲 σ 時，一次擬合的 e 分量不確定度約為 σ·√(2/N)；兩次擬合相減再乘 √2。σ = 0.3 μm、N = 36 時約 0.1 μm。另需計入轉檯徑向誤差運動、內孔邊緣的毛刺和不圓、畫素當量。r = 20 mm 時，0.1 μm 的偏心不確定度對應約 1″ 的角度誤差。

測量能力：不確定度佔公差多少

常用一個比值衡量測量能力：U 與半公差之比。經驗上一般要求不超過 1/3，要求高的場合取 1/5 甚至 1/10。

上面的線寬算例中，公差 ±1 μm：改進前 U = 0.40 μm，比值 40%，測量系統不夠用；改進後 U = 0.18 μm，比值 18%。

不確定度還直接壓縮可判定的範圍。按 ISO 14253-1 的思路，供方要證明合格，測得值必須落在兩端各收窄 U 的區間內。改進前合格判定區只剩 ±0.60 μm，改進後為 ±0.82 μm。也就是說，測量不確定度從 0.40 降到 0.18 μm，相當於給製程多放出約 0.22 μm 的單邊餘量。

工程要點

線寬測量的閾值約定（50% 或其他）和演算法要寫進檢驗規程，供需雙方一致；否則差異可達 0.5 μm 以上（σ = 0.6 μm 時 30%~70% 的跨度為 1.26 μm）。
用有證線寬標準樣板定期校準“光學邊緣到幾何邊緣”的偏差，這一項通常是線寬預算中的主要項。
相對誤差按長度放大：同樣 0.1% 的標尺或畫素當量誤差，在 25 μm 線寬上是 0.025 μm，在 40 mm 外徑上就是 40 μm，測長尺寸時標定和溫度修正是重點。
測 OD 先測本底並扣除；目標 OD 越高，對雜散光的要求越嚴，OD 4 要求本底低於 10⁻⁵ 量級。
偏心要以內孔為基準：同時擬合對心圈和內孔，用兩者一次諧波之差，每圈不少於 36 點，並用標準件定期核查轉檯。
先算測量能力比再定判定規則：比值超過 1/3 時，與其收緊製程，不如先改進測量。

小結

碼盤檢驗資料的價值取決於它的不確定度。線寬的主要來源是邊緣判定，OD 的主要來源是本底，偏心的主要來源是軸系和擬合噪聲。把這些來源量化、校準並控制到半公差的 1/3 以內，檢驗結論才經得起供需雙方的複核。

延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫

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