訊號問題圖鑑
症狀：幅值每轉起伏兩次——碼盤翹曲與軸系橢圓的排查
幅值包絡每轉起伏兩次，通常是讀數間隙含 cos2θ 分量：碼盤馬鞍形翹曲按 F·(r/R)² 傳到讀數半徑，輪轂端面的二次變形還會被槓桿放大約 4 倍。本文給出面形到掉幅的換算、平面度判據，以及自由態與裝夾態對比、轉 90° 重灌的分離方法。
以 Z 觸發、多轉同步平均後，A、B 包絡每轉起伏兩次，李薩如圓一圈裡脹縮兩回。端跳和偏心給出的是每轉一次（見本系列上一篇），出現兩次說明讀數點的間隙或徑向位置裡有 cos2θ 分量，也就是某個隨碼盤一起轉的零件帶有二重對稱的形狀。本文先把馬鞍形翹曲到掉幅的換算寫清楚，再討論輪轂和軸系的貢獻，最後給出判據和分離測量方法。
馬鞍形翹曲到掉幅的換算
馬鞍形是薄板最常見的二次面形：
z = a·r²·cos2θ
它對應兩個方向曲率相等、符號相反的彎曲，常由膜層應力各向異性、薄金屬片軋製殘餘應力、冷卻不均等引起。在外半徑 R 以內，用最小區域法算出的平面度為 F = 2aR²（由對稱性，兩包容平面就是水平面）。讀數半徑 r_h 處間隙的峰峰值為：
Δg = 2a·r_h² = F·(r_h/R)²
再用影像式讀數的幅值—間隙曲線（相對斜率 S = (1/m)·dm/dg），每轉兩次的波動率為：
η ≈ |S|·Δg/2
算例：Ø50 mm 碼盤、r_h = 20 mm，λ = 0.88 μm，照明角寬 20 mrad（假設）。
| 馬鞍平面度 F | Δg | 5000 線，g0 = 150 μm（S ≈ −0.37%/μm） | 10000 線，g0 = 25 μm（S ≈ −0.84%/μm） |
|---|---|---|---|
| 10 μm | 6.4 μm | η ≈ 1.2% | η ≈ 2.7% |
| 40 μm（薄片） | 25.6 μm | η ≈ 4.7% | η ≈ 10.9% |
碗形翹曲 z = c·r² 是軸對稱的，只改變名義間隙、不產生起伏；傾斜給出每轉一次。所以平面度報告裡的數字不能直接換成起伏，要把面形分解後只取 cos2θ 那一項。
輪轂與軸系帶來的 2 次分量
輪轂端面的二次變形會被放大。車削時兩點夾持、開口輪轂用一顆螺釘鎖緊、空心軸被夾緊環壓緊，都可能讓安裝端面呈馬鞍形。碼盤貼緊端面後，內緣不但跟著端面的高低，還跟著它的斜率，外側就像槓桿一樣把起伏放大。按 Kirchhoff 環形板模型計算（內緣隨端面，外緣自由）：輪轂 Ø12 mm、端面邊緣 ±1 μm 的馬鞍，到 r = 20 mm 處變成約 ±3.8 μm，放大係數 G ≈ 3.8；按剛體切線外推是 5.7，板的彎曲把它削掉一部分。這個比值只由幾何決定，與碼盤厚度和材料無關。
夾平只能去掉一部分翹曲。反過來，如果碼盤自身有馬鞍，輪轂把中心 Ø12 mm 強行壓平，讀數半徑處的馬鞍分量約剩 66%；壓平 Ø16 mm 約剩 49%。膠接一般靠膠層填補間隙、不會把碼盤壓平，翹曲基本原樣保留。
橢圓要分轉動件和靜止件。空心軸、輪轂內孔、軸承內圈這類轉動件被壓成橢圓，在恆定徑向載荷下會產生與轉角同步的 2 次徑向跳動，並可能帶著安裝法蘭一起變形。軸承座被夾成橢圓屬於靜止件，主要改變遊隙和預緊，引起的跳動一般與保持架轉速相關，不與轉角嚴格同步，按 Z 同步平均後會被削弱。徑向的 2 次跳動只有在碼道寬度裕量不足時才明顯影響幅值，機理與偏心越界相同。
平面度怎樣換算成判據
給定允許的 2 次波動率 η_a，讀數半徑處允許的間隙峰峰值和碼盤馬鞍平面度為：
Δg_a = 2η_a/|S|，F_a = Δg_a·(R/r_h)²
取 η_a = 2%，Ø50 mm、r_h = 20 mm：
| 讀數條件 | Δg_a | 碼盤馬鞍平面度 F_a | 輪轂端面二次起伏（峰谷，G ≈ 3.8） |
|---|---|---|---|
| 5000 線，g0 = 150 μm | 10.8 μm | 16.9 μm | 2.9 μm |
| 10000 線，g0 = 25 μm | 4.8 μm | 7.4 μm | 1.3 μm |
圖紙上的平面度包含碗形等不產生起伏的分量，按它卡是偏保守的寫法；更直接的驗收量是裝配後讀數半徑處端跳的 2 次分量。輪轂端面那一列說明，細節距時端面的二次起伏要控制到微米級，比碼盤本身的要求嚴得多。
自由態與裝夾態對比測量
- 自由態：碼盤放在同一半徑、間隔 120° 的三點支撐上，用干涉儀或雷射掃描測面形，擬合出馬鞍係數 a 和方位。三點支撐的自重下垂只含軸對稱和 3、6 次分量，不會混進 cos2θ。
- 裝夾態：裝在輪轂和軸上，以 Z 為基準測 r = 15 mm 和 20 mm 兩個半徑的端跳，取 2 次分量的幅值和相位。碼盤自身翹曲按 r² 增長，兩半徑比值約 1.78；輪轂端面傳來的變形增長較緩，同樣幾何下約 1.37。
- 對數：裝夾態 2 次分量接近 a·r_h²、方位也與自由態標記一致，問題在碼盤；裝夾後明顯變大，或隨夾緊力變化，問題在輪轂和夾持方式。
- 轉 90° 重灌：對可拆卸的夾持結構，把碼盤相對輪轂轉 90° 再裝。碼盤自身那份 cos2θ 會反號，以輪轂上的固定標記為相位基準，兩次測得的相量為 P₁ = H + D、P₂ = H − D，於是 D = (P₁ − P₂)/2，H = (P₁ + P₂)/2（見圖3）。
- 回到訊號：用 2 次分量和實測斜率 S 預測 η，與包絡實測值比較，二者相符才算找到主因。
工程要點
- 每轉兩次的包絡起伏先看是否與 Z 嚴格同步：同步的查轉動件的二重對稱，不同步的再查軸承和外殼。
- 平面度只有 cos2θ 那一項會造成兩次起伏，換算關係是 Δg = F·(r_h/R)²，讀數半徑越靠外越敏感。
- 輪轂端面的二次變形經槓桿放大約 3–4 倍到讀數半徑，細節距時端面二次起伏要控制在 1–3 μm 以內。
- 避免兩點夾持和單螺釘開口夾緊作用在碼盤安裝面附近；需要夾緊時讓夾緊部位遠離端面，或用整圈均布的結構。
- 自由態用三點支撐測面形，可以避開自重帶來的干擾，直接得到馬鞍係數。
- 可拆卸結構用轉 90° 重灌把碼盤與輪轂的貢獻分開，比反覆更換零件更省事。
小結
幅值每轉起伏兩次，本質是讀數間隙裡有 cos2θ 分量。碼盤馬鞍形翹曲按 F·(r_h/R)² 傳到讀數半徑；輪轂端面二次變形經槓桿放大，往往比碼盤本身更要緊。用平面度換算判據卡住兩者，再用自由態與裝夾態對比、轉 90° 重灌把來源分開，就能確定該改碼盤還是改裝夾。
延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫
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