訊號問題圖鑑
症狀：轉速升高後李薩如由圓變斜橢圓——兩路頻寬不一致
低速時李薩如是圓、轉速升高後變斜橢圓，多半是 A、B 兩路頻寬不一致：500 與 450 kHz 時 200 kHz 處相位差約 2.2°。本文推導相位差和幅值比隨頻率的變化，區分通道時差與取樣時差，給出分轉速段與停轉調光掃頻的測法及頻寬匹配公差。
編碼器在臺架上低速標定時一切正常，李薩如是標準的圓；裝到馬達上跑到五六千轉，同一個讀數頭的李薩如卻變成了斜橢圓，細分誤差也跟著增大，停下來又恢復。這種“只在高速出現”的相位誤差，最常見的原因是 A、B 兩路模擬通道的頻寬不一致。本文推導它隨頻率的變化規律，說明怎樣和通道時差、取樣時差區分，怎樣測量，以及兩路頻寬要匹配到什麼程度。頻寬本身如何由二極體電容和跨阻決定，見本文庫光電二極體電容與頻寬一篇。
模型：相位差和幅值比隨頻率變化
把每一路前端近似為一階低通 H = 1/(1 + j·f/f_c)，A、B 兩路截止頻率分別為 f_A、f_B。兩路相位滯後之差和幅值比為
Δφ = arctan(f/f_B) − arctan(f/f_A)
ρ = A_B/A_A = √(1 + (f/f_A)²) / √(1 + (f/f_B)²)
其中 f = N·n/60 為訊號頻率，N 為線數，n 為轉速（r/min）。f_A = 500 kHz、f_B = 450 kHz、f = 200 kHz 時，兩路滯後分別為 21.80° 和 23.96°，相差 2.16°；幅值比 0.984。
這組公式有三個值得記住的性質：
- 低頻段像一個固定時差。 f 遠小於截止頻率時，Δφ ≈ 360°·f·Δτ，Δτ = (1/f_B − 1/f_A)/(2π)，示例為 35 ns。
- 相位差有峰值。 在 f = √(f_A·f_B) ≈ 474 kHz 處最大，Δφ_max = arctan[(f_A − f_B)/(2√(f_A·f_B))] ≈ 3.0°，之後反而減小。
- 幅值差單調增大。 低頻段按 f² 增長，高頻趨於 1 − f_B/f_A = 10%。
相位差讓橢圓沿 45° 方向傾斜，幅值差讓它沿座標軸壓扁，兩者都產生每週期兩次的細分誤差，幅值約 ½·√(Δφ² + δ²)（δ = 1 − ρ，均以弧度計）；此外還有一個 Δφ/2 的固定偏移，表現為隨轉速變化的位置滯後。換算到 2048 線（1 rad 電角度約 100.7″）：
| f | 2048 線轉速 | Δφ | 幅值差 δ | 細分誤差 |
|---|---|---|---|---|
| 50 kHz | 1465 r/min | 0.63° | 0.1% | 0.56″ |
| 100 kHz | 2930 r/min | 1.22° | 0.5% | 1.09″ |
| 200 kHz | 5859 r/min | 2.16° | 1.6% | 2.06″ |
| 300 kHz | 8789 r/min | 2.73° | 3.0% | 2.82″ |
前三行誤差幾乎與頻率成正比，這是“轉速越高越差”的來源。用 atan2 直接模擬，200 kHz 處誤差幅值為 0.0205 rad，與近似式一致。
與其他“隨轉速變化”的原因區分
轉速相關的相位誤差不止一種來源，頻率特性各不相同（見圖2）：
| 原因 | Δφ 隨 f | 幅值比隨 f | 示波器模擬李薩如 |
|---|---|---|---|
| 兩路頻寬不一致 | 先線性增大，在 √(f_A·f_B) 處達峰後回落 | 按 f² 起降低 | 斜橢圓並壓扁 |
| 通道時差 Δt（濾波群延遲、比較器、走線） | 360°·f·Δt，一直線性增大 | 不變 | 斜橢圓 |
| 靜態相位誤差（讀數頭方位、檢測場佈局） | 不隨轉速變 | 不變 | 低速時已是斜橢圓 |
| 數字端 A、B 分時取樣 | 360°·f·Δt_s | 不變 | 仍是圓 |
最後一項很容易被忽略：用一個 ADC 輪流採 A、B 時，取樣間隔 Δt_s 在數字域裡形成相位差，示波器上看模擬訊號完全正常，細分誤差卻隨轉速線性增大。所以第一步要對比“模擬端李薩如”和“數字端解算誤差”是否一致。
測量：分轉速段與停轉調光掃頻
分轉速段觀察李薩如。 在最高轉速範圍內取 6–8 個轉速，每檔用差分探頭同時採 A、B，擬合橢圓得到 Δφ 和 ρ，橫軸換成 f = N·n/60 作圖，再用 Δφ = φ₀ + 360°·f·Δt + [arctan(f/f_B) − arctan(f/f_A)] 擬合，三個分量就分開了。示波器兩通道和探頭自身的時差要先校準：交換兩隻探頭各測一次，取平均即可消去。
停轉調光掃頻。 不方便高速運轉時，可以把軸停在 A、B 等幅的 45° 附近，關閉恆光閉環，用訊號源給 LED 電流疊加小幅正弦調製（深度 5%–10%），在 10 kHz 到 1 MHz 之間掃頻，測 A、B 輸出交流分量之比。由於兩路看到的是同一個光強調製，比值就是 H_B/H_A，LED 自身的頻寬在比值中抵消。兩路偏置會給交流分量帶來附加項，在 45° 與 225° 兩個位置各測一次、取差值可以消掉。這種方法的上限受 LED 驅動的調製頻寬和訊雜比限制。
能接觸電路板時，也可以經小電容向各路跨阻輸入端注入測試電流，直接測每路傳遞函式。
頻寬匹配公差
設兩路截止頻率相對差 ε = (f_A − f_B)/f_A，最高訊號頻率與截止頻率之比 u = f_max/f_c。ε 較小時誤差約為 ½·ε·u/√(1 + u²)，於是給定允許誤差 E（電角度，rad）後：
ε ≤ 2E·√(1 + u²) / u
2048 線時的允許值：
| 允許誤差 | u = 0.2 | u = 0.4 | u = 0.8 |
|---|---|---|---|
| 0.5″ | 5.1% | 2.7% | 1.6% |
| 1″ | 10.1% | 5.3% | 3.2% |
| 2″ | 20.3% | 10.7% | 6.4% |
算例：2048 線、6000 r/min 時 f_max ≈ 205 kHz，f_c = 500 kHz，u ≈ 0.41；要求高速細分誤差不超過 1″，兩路截止頻率之差需控制在約 5% 以內（見圖3）。
失配從哪裡來：濾波電阻 1%、電容 5% 時，RC 乘積最壞可差約 6%；跨阻頻寬約與輸入電容的平方根成反比，兩路二極體或走線電容差 10%，頻寬約差 5%；運放增益頻寬積的離散也按平方根進入。對策是兩路用同批次、1%–2% 的電容和同一顆雙運放，版圖對稱；必要時提高 f_c 降低 u，同時核算由此增加的噪聲。
工程要點
- 先按 f = N·n/60 把轉速換成訊號頻率，再看 Δφ 和幅值比隨 f 的曲線，而不是隻看某一個轉速。
- 頻寬失配在低頻段等效於 Δτ = (1/f_B − 1/f_A)/(2π) 的時差，500/450 kHz 約 35 ns。
- 區分依據：頻寬失配同時出現幅值差且相位差有峰值；時差只有線性相位；靜態誤差低速就有；取樣時差在模擬李薩如上看不到。
- 不便高速運轉時，用停轉調光掃頻測 H_B/H_A，在 45° 和 225° 各測一次消去偏置。
- 頻寬匹配公差按 ε ≤ 2E·√(1 + u²)/u 定，2048 線、u = 0.4、1″ 時約 5%，元件選 1%–2% 電容、同批同封裝。
小結
轉速升高後李薩如變斜橢圓，多是兩路低通頻寬不一致：相位差先隨頻率線性增大、在 √(f_A·f_B) 處達到峰值，幅值差則持續增大，誤差在常用轉速段近似與轉速成正比。用分轉速段擬合或停轉調光掃頻把它和時差、靜態誤差、取樣時差分開，再按允許誤差反推頻寬匹配公差，就能在設計和來料兩端把它控制住。
延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫
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