訊號問題圖鑑
症狀：訊號變成三角波且幅值偏低——間隙過大與視窗卷積
50% 碼盤與同節距 50% 檢測窗卷積得到三角波，諧波按 1/n² 衰減，三次約 11%，直接 atan2 的細分誤差約 ±4.1° 電角度。本文推導半影與衍射兩種模糊對三角波和幅值的影響，給出區分二者的試驗，以及改視窗占空比或調間隙的判據。
示波器上的 A 相不是正弦，而是帶尖頂的三角波，幅值又比標稱低了兩三成。很多人的第一反應是兩件事互相矛盾：間隙小才會出三角波，間隙大才會掉幅值。其實三角波來自碼盤與檢測窗的幾何卷積，掉幅來自間隙帶來的模糊，兩者可以同時出現；細節距碼盤在間隙過大時，三次諧波甚至會因近場自成像重新長出來。本文先推導三角波的來源，再分析半影和衍射兩種模糊，最後給出區分方法和改進判據。
三角波的來源：方波與檢測窗的卷積
碼盤穿透率是佔空比 50% 的方波，檢測窗（指示光柵或探測單元）開口寬 w·p。探測器收到的光是兩者重疊的面積，作為位移的函式就是二者的卷積。w = 0.5 時，重疊面積在零和半個視窗面積之間線性升降，得到三角波。其傅立葉係數為兩個 sinc 的乘積：
c_n ∝ sinc(n/2) · sinc(n·w)
w = 0.5 時奇次諧波相對基波為 h_n = 1/n²，全部為正：h3 = 11.1%，h5 = 4.0%，h7 = 2.0%。直接用 atan2 解算，細分誤差峰值約 0.071 rad，即 ±4.1° 電角度，2048 線約 7.2″（諧波與誤差的一般關係見本系列「方圓」一篇）。
還有一個容易混淆的數：三角波的基波幅值只有三角波峰值的 8/π² ≈ 0.81。示波器上量到 1 Vpp 的三角波，細分器“看到”的正弦分量只有約 0.81 Vpp，按李薩如半徑或基波定義的幅值自然偏低。
幅值偏低：間隙帶來的兩種模糊
幾何模糊（半影）。 發光區寬 s、距碼盤 L 時，影子在間隙 g 處的模糊寬度為 b = s·g/L = g·Δα，Δα 為測量方向上的照明角寬。矩形模糊核使第 n 次諧波乘以 sinc(n·b/p)。在 b < p/2 時，三角波與它卷積後過零附近仍是直線，過零斜率不變；只有尖頂被抹成拋物線，峰峰值降為 1 − b/p，基波降為 sinc(b/p)（見圖1）。b = p/3 時 sinc(3b/p) = 0，三次諧波恰好消失，基波保留約 83%。
衍射。 對 50% 碼盤，第 n 次諧波乘以 cos(n²πλg/p²)。基波按 cos(πλg/p²) 緩慢下降，三次諧波的變化快 9 倍：在 p²/(18λ) 處過零變號，在 2p²/(9λ) 處完全復原。到那時基波已降到 cos(40°) ≈ 0.77。也就是說，細節距碼盤間隙過大時，波形會重新變成三角波，而幅值已明顯下降——這正是標題裡的症狀。
算例（假設 p = 20 μm、λ = 0.88 μm、譜寬 40 nm、照明角寬 20 mrad）：
| 間隙 g | 基波（以緊貼為 1） | h3 | 細分誤差 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1.00 | +11.1% | 4.1° |
| 25 μm | 0.98 | +0.2% | 1.4° |
| 50 μm | 0.94 | −11.4% | 4.8° |
| 75 μm | 0.86 | −0.6% | 2.7° |
| 100 μm | 0.76 | +12.5% | 7.3° |
g = 100 μm（約 2p²/(9λ)）時三次諧波比緊貼時還大，誤差約 7.3°，幅值卻只剩約 76%。照明角寬增大到 50 mrad 時，同一間隙下 h3 降到約 4.8%、誤差約 2.7°，基波降到約 0.69，波形變成“圓頭三角波”（見圖2）。
粗節距時情況相反。p = 50 μm、照明角寬 50 mrad 時，衍射因子在幾百微米內都在 0.9 以上，模糊主要來自半影：g ≈ 333 μm 時 b ≈ p/3，三次諧波消失，誤差約 0.5°，基波約 0.77。粗節距的三角波一般只在小間隙下出現，間隙增大後單調地圓化。
區分間隙過大與光源半影
- 細掃間隙看 h3。 以約 p²/(36λ) 為步長（p = 20 μm 時約 13 μm）改變間隙並做 FFT：h3 正負交替、週期約 2p²/(9λ)，是衍射；單調減小、在 g·Δα ≈ p/3 附近過零，是半影。
- 換波長。 換一顆紅光 LED（其他不變）：衍射特徵的位置按 λ 移動，半影不變。
- 改光源尺寸。 在 LED 前加一條窄縫光闌，或把 LED 後移：半影隨之減小，衍射不受影響。
- 看波形細節。 峰峰值下降而過零斜率不變、尖頂變成圓弧，是半影型；過零斜率也隨間隙變化、平頂與尖頂交替出現，是衍射型。
- 看幅值—間隙曲線的零點。 衍射的第一個零點在 p²/(2λ)（p = 20 μm 時約 227 μm），半影的在 p/Δα（20 mrad 時約 1 mm）。
改善判據：改視窗還是調間隙
- 幅值夠、誤差大（小間隙下的三角波）：改檢測窗佔空比。緊貼時 w = 1/3 消去三次諧波，但五次仍約 −4%，誤差約 3.4°；w ≈ 0.29 時誤差最小，約 1.8°；代價是基波按 sin(πw) 下降，w = 1/3 約少 13%（見圖3）。有間隙模糊時誤差最小的佔空比會移動，要按實際間隙復算；更徹底的做法是多視窗空間濾波或在演算法中對三角波做線性化（另見相關篇）。
- 幅值低、波形又是三角（細節距間隙過大）：把間隙收回到基波因子 ≥ 0.9 的範圍，即 g ≤ 約 0.14·p²/λ（p = 20 μm 時約 64 μm），並避開 2p²/(9λ) 附近的三次諧波復現區。
- 粗節距、擴充套件光源：可以有意把工作間隙放在 g·Δα ≈ p/3 附近，用半影當低通濾波器，以約 17% 的基波換取近似正弦的波形。
工程要點
- 50% 碼盤配 50% 檢測窗，緊貼時就是三角波：h_n = 1/n²，誤差約 ±4.1° 電角度。
- 三角波的基波只有峰值的 0.81，用峰峰值和用李薩如半徑評估幅值，會差約 19%。
- 半影型模糊保持過零斜率，峰峰值按 1 − b/p 下降；b = p/3 時三次諧波為零。
- 細節距下三次諧波在 2p²/(9λ) 處復現，此時基波只剩約 0.77，“三角波 + 低幅值”是間隙過大的訊號。
- 細掃間隙、換波長、加光闌三項試驗可以把衍射和半影分開。
- 誤差問題優先改檢測窗佔空比或空間濾波，幅值問題優先收回間隙；兩者要用同一個模型一起核算。
小結
三角波是碼盤方波與同節距檢測窗卷積的直接結果，幅值偏低則來自間隙帶來的半影和衍射。粗節距下模糊以半影為主，三角波隨間隙單調圓化；細節距下衍射使三次諧波在 2p²/(9λ) 處復現，出現“三角波又低幅值”的症狀。先用細掃間隙、換波長和改光源尺寸分清來源，再決定改檢測窗佔空比還是調整間隙。
延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫
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