症狀：角度誤差以每轉兩次為主——碼盤變形與圖形橢圓

二次諧波誤差不能被對徑雙讀數頭抵消，常見來源是圖形橢圓、粘接應力造成的面內二次變形；軸系的 2 次平移誤差則會被抵消。相對橢圓度 ε 產生約 ε·sin2θ 的誤差，r = 20 mm 時半軸偏離 0.1 μm 約 1″。本文給出各來源的判別方法與排查流程。

用參考編碼器標定一臺測角裝置，偏心造成的一次諧波已經靠對徑雙讀數頭消掉了，剩下的誤差曲線每轉起伏兩次，峰峰值一兩角秒，怎麼調對心都不變。二次諧波在高精度編碼器裡很常見，因為它恰好是對徑平均消不掉的最低階。要處理它，先得分清是碼盤圖形本身拉成了橢圓、碼盤粘上去以後被拉變形，還是軸系在轉動中每轉晃兩次。

模型：橢圓怎樣變成角度誤差

設刻線圖形相對理想圓在兩個正交方向上各伸縮 ±ε，即沿某方向的半徑變為 r + δ、垂直方向變為 r − δ，ε = δ/r。刻線的視在角滿足 tanψ′ = (1 − ε)·tanψ/(1 + ε)，展開得

Δθ ≈ ε·sin2(θ − θ0)

θ0 為橢圓主軸方位。r = 20 mm、δ = 0.1 μm 時 ε = 5×10⁻⁶，幅值約 1.03″，用數值解核對一致。一個微米的十分之一就是一角秒，這是二次誤差難纏的原因。

要注意，角度誤差來自刻線的切向位移，而不是徑向。均勻仿射拉伸（光罩寫入時兩軸比例差即屬此類）切向與徑向位移幅值相等，誤差為 δ/r；薄環被壓成橢圓的不伸長變形，切向位移只有徑向的一半，誤差為 δ/(2r)。所以用影像儀測得碼道圓的橢圓度，不能直接換算成角度誤差，應直接測刻線角位置。

三類來源與對徑平均

對徑兩讀數頭相距 180°，sin2θ 在 θ 與 θ + 180° 處相同，所以凡是固定在圖形上的二次形狀，兩頭讀數同號，平均後保留。軸系不同：軸心的平移在兩頭造成大小相等、方向相反的切向位移，不論它每轉幾次，對徑平均都會抵消。

（數值均為示例，見圖2左。）馬鞍形翹曲經讀數頭的切向耦合也會帶來 2 次誤差，對徑平均同樣消不掉，翹曲的測量見本系列幅值每轉兩次一篇。

排查流程

1. 確認現象：以 Z 為基準多轉同步平均，2 次分量在各轉之間重複，相位穩定。不同步的 2 次成分多與軸承有關，另行處理。
2. 單頭與平均對比：有兩個讀數頭時分別取各自的 2 次分量與平均值；只有一個讀數頭時，把它轉到對徑位置再測一次。單頭有、平均後消失，是軸系平移，用電容測頭或標準球測軸的 2 次徑向誤差運動核實；平均後仍在，是碼盤圖形或變形。
3. 自由態測圖形：把碼盤以低夾持力放在精密轉檯上（三點支承或弱真空吸附），用影像儀或單讀數頭測若干刻線的角位置，得到圖形本身的 2 次分量。與裝配後的結果比較：兩者幅值、方位相近，是圖形橢圓；裝配後明顯變大，是粘接或夾持變形。
4. 轉 90° 重灌：對可拆的夾持結構，或在膠固化前、或在標定轉檯上，把碼盤相對輪轂轉 90° 再測。以軸上標記為相位基準，跟碼盤走的 2 次分量 D 反號，跟軸和輪轂走的 H 不變：P₁ = H + D，P₂ = H − D，於是 D = (P₁ − P₂)/2，H = (P₁ + P₂)/2。
5. 變溫複測：在兩個溫度下測 2 次分量。粘接應力引起的部分隨溫差線性變化，圖形橢圓基本不變。
6. 對症處理：圖形橢圓找光罩寫入或複製工序，校正兩軸比例；粘接變形查輪轂圓度、膠量對稱性和夾持方式，改用低應力膠或均勻環形粘接；穩定且不隨溫度變化的殘餘，可用 2 次諧波補償表消除。

工程要點

• 二次誤差幅值約 δ/r：r = 20 mm 時半軸偏離 δ = 0.1 μm 即約 1″，亞微米的變形就要管。
• 對徑雙讀數頭只消奇數階和軸心平移，圖形橢圓和碼盤面內變形照樣保留。
• 測碼道圓的橢圓度不等於測角度誤差，仿射變形與圓環彎曲的換算係數差一倍，以刻線角位置為準。
• 單頭與對徑平均對比是第一步：能分開軸系與碼盤兩大類來源。
• 轉 90° 重灌的相量差除以 2 得跟碼盤走的部分，和除以 2 得跟軸、輪轂走的部分。
• 粘接引起的 2 次分量隨溫度變化，補償表只適合補穩定的那部分。

小結

角度誤差以每轉兩次為主，說明有二重對稱的形狀進入了讀數：圖形橢圓和碼盤面內變形在對徑平均後保留，軸系的 2 次平移則被抵消。先用單頭與平均對比分出軸系，再用自由態測量、轉 90° 重灌和變溫複測把圖形與粘接變形分開，就能確定該回到光罩工序還是改進裝配。

延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫

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