碼盤參考設計
格雷碼多道佈局：碼道順序、內外圈分配與最小碼元
格雷碼碼元為 2πr/2ⁿ，最低位條寬卻是 2 個碼元。Φ40 碼盤 10 位、最低位在 r = 18 mm 時碼元約 110 μm、最細條寬約 221 μm、碼道頻寬約 4.85 mm。本文比較最低位放外圈與內圈，推導碼道間讀數錯位，給出參數列與順序規則。
一片 Φ40 碼盤要做 10 位單圈絕對位置，每轉 1024 個位置，每個位置約 21.1′。用多道格雷碼時，10 條碼道各管一位，探測器沿一條徑向線排開同時讀。畫版圖前要回答四個問題：最窄的圖形有多寬，哪一位放外圈，10 條碼道佔多寬的環帶，讀數線要對得多準。本文用 Φ40、10 位為算例逐項推導。
每條碼道的圖形：條寬與跳變數
格雷碼由二進位制 B 得到：G = B XOR (B » 1)，所以第 k 位 G_k = B_k XOR B_(k+1)。設碼元（一個位置量化單位）的角寬為 360°/2ⁿ，在半徑 r 處的弧長為
q = 2πr / 2ⁿ
逐位寫出可以得到：
- 第 k 道（k ≤ n − 2）明條和暗條各寬 2^(k+1) 個碼元，週期 2^(k+2) 個碼元，每轉跳變 2^(n−k−1) 次；
- 最高位 b(n−1) 是半圈明、半圈暗，次高位 b(n−2) 也是半圈，但與最高位錯開 90°；
- 全部碼道每轉的跳變數加起來正好 2ⁿ，每個碼元邊界上恰好有一道跳變，這就是“相鄰碼只變一位”。
由此得出一個容易被忽略的結論：最低位的明暗條寬是 2 個碼元，而不是 1 個。自然二進位制碼的最低位條寬才是 1 個碼元。所以“最小碼元 2πr/2ⁿ”是位置分辨的單位，圖形上最細的線是 2q。另外，最低位道本身就是一條 2^(n−2) 個週期的均勻光柵，10 位時為 256 個週期。
Φ40 碼盤 10 位的佈局引數
示例佈局：b0 在 r = 18 mm，碼道寬 W = 0.35 mm（探測窗徑向尺寸加偏心與安裝餘量，取法見本文庫碼道徑向寬度一文），道間隔 0.15 mm，道距 P = 0.5 mm，b9 在 13.5 mm。碼道帶從 13.325 mm 到 18.175 mm，寬約 4.85 mm。r = 18 mm 處碼元 q ≈ 110.4 μm，即 1265.6″。
| 碼道 | 半徑（mm） | 條寬（碼元） | 條寬角度 | 條寬弧長 | 每轉跳變 |
|---|---|---|---|---|---|
| b0 | 18.0 | 2 | 0.70° | 220.9 μm | 512 |
| b1 | 17.5 | 4 | 1.41° | 429.5 μm | 256 |
| b2 | 17.0 | 8 | 2.81° | 834.5 μm | 128 |
| b3 | 16.5 | 16 | 5.63° | 1.62 mm | 64 |
| b4 | 16.0 | 32 | 11.25° | 3.14 mm | 32 |
| b5 | 15.5 | 64 | 22.5° | 6.09 mm | 16 |
| b6 | 15.0 | 128 | 45° | 11.8 mm | 8 |
| b7 | 14.5 | 256 | 90° | 22.8 mm | 4 |
| b8 | 14.0 | 512 | 180° | 半圈 | 2 |
| b9 | 13.5 | 512 | 180° | 半圈，與 b8 錯開 90° | 2 |
最低位放外圈還是內圈
把順序倒過來，b0 就落在 13.5 mm，條寬按半徑縮小。對比如下（13 位時道距不變，最內道在 12 mm）：
| 專案 | b0 放外圈 | b0 放內圈 |
|---|---|---|
| 10 位 b0 條寬 | 220.9 μm | 165.7 μm |
| 13 位 b0 條寬 | 27.6 μm | 18.4 μm |
| 與外側增量道（假設在 18.5 mm）的徑向距離 | 約 0.5 mm | 約 5 mm |
| 偏心 20 μm 時 b0 與增量道的讀數錯位 | 約 6″ | 約 83″ |
10 位時兩種排法的條寬都很寬，差別不在能不能做出來，而在兩點。第一，訊號裕量：讀數頭的半影和探測窗寬度是固定的長度，條寬越窄，最低位訊號越難到達全明全暗，邊沿位置越依賴閾值。假設半影寬約 20 μm，13 位放內圈時 b0 條寬已小於它。第二，與增量道同步：帶細分的絕對式編碼器要把格雷碼最低位與增量道相位拼接（拼接容差詳見本文庫另一篇），兩者在偏心下的讀數錯位與 e·(1/r_a − 1/r_b) 成正比，相鄰放置比隔著整個碼道帶小約 13 倍。
只有在讀數晶片的探測器排列已經固定、或外圈必須留給別的碼道時，才值得考慮最低位放內圈。
讀數線對齊：碼道帶越寬，錯位越大
格雷碼的容錯性質是：只要各碼道讀數點的角位置散佈小於 1 個碼元，讀出的總是相鄰兩個碼之一，誤差不超過 1 個碼元；設計上留一半餘量，按 0.5 個碼元控制。散佈有三個來源：
- 偏心 e：Δφ_e = e·(1/r_in − 1/r_out)·|sinθ|
- 讀數線橫移 d（探測器連線平行於半徑但不過圓心）：Δφ_d = d·(1/r_in − 1/r_out)
- 讀數線轉角 γ（繞半徑 r_p 處轉動）：Δφ_γ ≈ γ·r_p·(1/r_in − 1/r_out)
其中 r_in、r_out 為最內、最外碼道半徑。三項都正比於 1/r_in − 1/r_out，近似等於碼道頻寬除以 r²，與碼道順序無關。本例 1/13.5 − 1/18 ≈ 0.0185 mm⁻¹，1 個碼元為 6.14 mrad，0.5 個碼元對應 e 或 d 約 0.17 mm，對應 γ 約 0.6°（r_p = 15.75 mm）。可見 10 位時偏心和橫移都很寬鬆，讀數頭的轉角反而是要管的一項：轉 0.5° 就佔掉約 0.41 個碼元。
位數增加時，碼元每多一位減半，碼道帶又多一道，散佈增長很快（見圖2）。偏心或橫移 10 μm 時，13 位用掉約 0.36 個碼元，14 位約 0.82 個碼元。在 Φ40 上，純多道格雷碼一般做到 13 位左右，再往上要靠與增量道同步拼接或改用單碼道編碼。
碼道順序規則
- 按位權單調排列：b0 在外，最高位在內，中間不跳排，這樣條寬隨半徑一起變化。
- 有增量道時增量道放最外，b0 緊貼其內側，兩者之間只留串擾間隔。
- 兩條半圈道放最內圈，它們只有兩處跳變，對半徑和偏心最不敏感。
- 道距取碼道寬加串擾間隔的下限，碼道帶越窄，讀數線容差越大。
- 各道的碼元邊界角度按 2πm/2ⁿ 精確給出，由同一次寫入或同一張光罩形成，避免碼道之間的角向錯位。
工程要點
- 區分碼元與線寬：碼元 q = 2πr/2ⁿ，格雷碼最細條寬是 2q；Φ40、r = 18 mm、10 位時分別為 110.4 μm 和 220.9 μm。
- 最低位放外圈：10 位時條寬由 165.7 μm 增至 220.9 μm，與外側增量道的偏心錯位約小 13 倍。
- 先算碼道頻寬：10 道、道距 0.5 mm 時約 4.85 mm，最內道 13.5 mm，內孔和輪轂要在此之內。
- 10 位時最緊的裝配項是讀數線轉角：約 0.6° 就用掉 0.5 個碼元，偏心和橫移則可放到約 0.17 mm。
- 位數上限按錯位估算：e = 10 μm 時 13 位約 0.36 個碼元，14 位約 0.82 個碼元，超過時改用同步拼接或單碼道。
- 版圖交付前逐碼元掃描一圈，核對相鄰碼只變一位、每轉總跳變數等於 2ⁿ。
小結
格雷碼的位置單位是 2πr/2ⁿ，最細的線卻是它的兩倍。最低位放外圈既得到最寬的條，又便於與增量道同步；碼道順序不改變讀數線錯位，錯位只取決於碼道頻寬與半徑。Φ40、10 位時圖形尺寸很寬鬆，真正要控制的是讀數頭轉角，位數再往上則受碼道頻寬限制。
延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫
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