碼盤參考設計
高線數小半徑還是低線數大半徑：同等解析度下的誤差對比
每轉 2²⁰ 計數可用 r = 10 mm、4096 線細分 256 倍，或 r = 20 mm、1024 線細分 1024 倍。本文逐項算出偏心、細分、刻劃、噪聲、間隙與頻率：單讀數頭時後者合成誤差約 47″、前者約 71″，兩方案臨界偏心約 0.6 μm。
同樣要每轉 2²⁰（1 048 576）計數、每計數約 1.24″，可以走兩條路：在 r = 10 mm 上刻 4096 線，細分 256 倍；或在 r = 20 mm 上刻 1024 線，細分 1024 倍。解析度一樣，誤差構成卻完全不同。前者線密、半徑小，偏心誤差大而細分誤差小；後者反過來。本文逐項算出兩種方案的誤差分量，再給出什麼情況下該選哪一種。
各誤差分量怎樣隨 r 和 N 變化
設讀數半徑 r，線數 N，細分倍數 k，每轉計數 C = N·k。
偏心（單讀數頭，一次諧波）：Δθ_e = e / r，e 為圖形中心相對迴轉軸的偏移。
細分誤差：與訊號週期成正比。訊號週期 P = 360°/N，若細分誤差為週期的 ε_i（峰值，相對值由訊號質量決定），則 Δθ_i = ε_i·P。
刻劃誤差：若主要來自刻線的線位置誤差 δx（光罩寫入、曝光、基板變形），角度誤差為 Δθ_g = δx / r。若來自角度型誤差（如極座標寫入的轉檯誤差），則與 r 無關。
噪聲：訊號相對噪聲 σ_n/A 換成角度為 σ_θ = (σ_n/A)·P/(2π)，也與週期成正比。
間隙：影像式讀數的最大間隙約 g_max ≈ 0.205·p²/λ（推導見本文庫影像式讀數線數上限一文），節距 p = 2πr/N。
訊號頻率：f = N·n/60，n 為轉速（r/min）。
可以看到，r 只進入偏心、線位置型刻劃誤差和節距；N 只進入細分、噪聲、節距和頻率。兩種方案的差別就是這兩組量的此消彼長。
算例：10 mm/4096 線對 20 mm/1024 線
示例假設：單讀數頭殘餘偏心 e = 3 μm，細分誤差為週期的 1%（未補償），δx = 0.3 μm，訊雜比 A/σ_n = 500，λ = 0.88 μm。
| 專案 | A：r = 10 mm，4096 線 | B：r = 20 mm，1024 線 |
|---|---|---|
| 細分倍數 | 256 | 1024 |
| 節距 | 15.3 μm | 122.7 μm |
| 訊號週期 P | 316.4″ | 1265.6″ |
| 偏心 e/r | 61.9″ | 30.9″ |
| 細分誤差 1%·P | 3.2″ | 12.7″ |
| 刻劃 δx/r | 6.2″ | 3.1″ |
| 合計（單讀數頭） | 71.2″ | 46.7″ |
| 合計（雙讀數頭，偏心抵消） | 9.4″ | 15.8″ |
| 噪聲 σ_θ | 0.10″ | 0.40″ |
| 影像式最大間隙 | 約 55 μm | 約 3.5 mm |
| 6000 r/min 訊號頻率 | 409.6 kHz | 102.4 kHz |
| 碼盤外徑（示例） | 約 Φ24 | 約 Φ44 |
合計取各分量峰值之和。偏心是一次諧波，細分誤差是每週期 1、2、4 次的高階諧波，階次相差上千倍時，高階項在一次諧波峰值附近要走完很多個週期，兩者峰值幾乎一定會疊到一起，所以峰值直接相加並不保守。
結論很清楚：單讀數頭時，偏心佔了 A 方案的 87%，B 方案靠加倍的半徑把它減半，合計少約 24″；雙讀數頭抵消偏心後，剩下的主要是細分誤差，A 方案的週期只有 B 的四分之一，合計反而小約 6″。
臨界偏心：什麼時候大半徑更划算
令兩方案單讀數頭合計相等，B 優於 A 的條件為
(e + δx)·(1/r_A − 1/r_B) > ε_i·(P_B − P_A)
其中 P 用弧度，r 用 mm。代入 1/r_A − 1/r_B = 0.05 mm⁻¹、P_B − P_A = 949.2″ ≈ 4.60 mrad、ε_i = 1%，得 e + δx > 0.92 μm，即臨界偏心 e* ≈ 0.62 μm。ε_i 取 2% 時 e* ≈ 1.54 μm，取 0.5% 時約 0.16 μm。
單讀數頭編碼器裝配後的殘餘偏心一般在微米量級，遠大於 0.6 μm，這時低線數大半徑佔優；只有採用對徑雙讀數頭、上軸後做偏心補償，或者細分誤差本身已經很小時，高線數的優勢才顯現出來。圖2把三種線數的合計誤差畫成 r 的函式：同一半徑下線數越多越好，但 4096 線在間隙 0.1 mm 時要求 r ≥ 13.5 mm，A 方案的 10 mm 落在節距不足的虛線段上。
其他代價
- 間隙與讀數方式：A 方案節距 15.3 μm，影像式讀數間隙要壓到約 55 μm 以下，端跳和軸向竄動的餘量很小，常常要改用干涉式或三光柵讀數。B 方案的間隙幾乎不受限制。
- 訊號頻率：A 方案在 6000 r/min 時 409.6 kHz，前端頻寬和比較器要按此設計；B 方案只有四分之一。
- 細分電路：B 方案每週期細分 1024 份，1 份約 6.1 mrad 電角度，噪聲和 ADC 位數要求更高，噪聲角度是 A 的 4 倍。
- 外形與轉動慣量：同厚度時轉動慣量按外徑四次方增長，Φ44 約為 Φ24 的 11 倍；對伺服馬達通常影響不大，對空間受限的關節模組則是硬約束。
工程要點
- 先判斷偏心能否被抵消：單讀數頭時偏心一般佔合成誤差的大頭，示例中 A 方案約 87%，應優先加大讀數半徑。
- 用臨界偏心做選擇：e* = ε_i·(P_B − P_A)/(1/r_A − 1/r_B) − δx，示例約 0.6 μm，實際偏心大於它就選低線數大半徑。
- 雙讀數頭或上軸補償後改看細分誤差：誤差與訊號週期成正比，示例中 4096 線方案合計 9.4″，優於 1024 線的 15.8″。
- 高線數小半徑要先核間隙：r = 10 mm、4096 線節距 15.3 μm，影像式讀數間隙須小於約 55 μm。
- 低線數大半徑要核細分鏈路：噪聲角度與週期成正比，細分倍數越高，ADC 和模擬前端的訊雜比要求越高。
- 刻劃誤差要分清型別：線位置型隨 r 減小，角度型與 r 無關，加大半徑只對前者有效。
小結
同樣的解析度，線數和半徑的組合決定了誤差的構成：半徑管偏心和線位置誤差，線數管細分誤差、噪聲和節距。單讀數頭且偏心在微米量級時，低線數大半徑更準；偏心被抵消後，高線數小半徑更準，但要付出間隙和頻寬的代價。用臨界偏心公式代入自己的引數，就能直接判斷走哪條路。
延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫
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