非 2ⁿ 解析度絕對碼盤：360、1000 位置的迴圈格雷碼

要 360 或 1000 個絕對位置且首尾只變一位，可擷取反射格雷碼中間的對稱段，兩端各去 (2ⁿ − M)/2 個碼。本文推導對稱性、擷取與解碼公式，說明奇數位置數為何做不到，給出 360、1000 位置的碼道數、碼元寬、解碼錶與版圖檢查項。

分度盤、閥門執行器、十進位制顯示的儀器常要每轉 360 個（每位置 1°）或 1000 個絕對位置。格雷碼的位數決定了一圈 2ⁿ 個碼，360 和 1000 都不是 2 的冪。最直接的做法是取 9 位格雷碼的前 360 個，可是首碼 G(0) = 000000000 與末碼 G(359) = 111010100 有 5 位不同，轉過接縫時各位翻轉的先後稍有偏差，就會讀出離真實位置很遠的中間碼。本文給出讓首尾也只差一位的構造方法、解碼公式和版圖要注意的地方。

反射格雷碼的對稱性

n 位反射格雷碼 G(i) = i XOR (i » 1)，i = 0…2ⁿ − 1。把 i 換成它的映象 i′ = 2ⁿ − 1 − i，即 i 的 n 位按位取反：

i′ = i XOR (2ⁿ − 1)，i′ » 1 = (i » 1) XOR (2^(n−1) − 1)

兩式異或得

G(2ⁿ − 1 − i) = G(i) XOR 2^(n−1)

也就是說，關於中點對稱的兩個碼只差最高位。這就是“反射”一詞的來源：低 n − 1 位在後半段是前半段的映象，最高位從 0 變成 1。

擷取條件與解碼

要得到 M 個位置的迴圈碼，保留中間序號 i = s … 2ⁿ − 1 − s，兩端各去掉

s = (2ⁿ − M) / 2

個碼。段首 G(s) 與段尾 G(2ⁿ − 1 − s) 正好是一對映象，只差最高位，首尾閉合處也滿足相鄰只變一位；段內本來就逐個只變一位。位數取 n = ⌈log₂M⌉，s 必須是整數，所以 M 必須是偶數。

解碼分兩步：先把格雷碼轉成二進位制，b(n−1) = g(n−1)，b(k) = b(k+1) XOR g(k)；再減去偏移 p = B − s。若 B < s 或 B > 2ⁿ − 1 − s，讀到的是被截掉的碼，可以直接判為讀碼錯誤。機械零位如需另定，再加一個常數取模 M 即可。

對稱擷取並非僅有的一種截法。我們對 9 位碼逐個起點搜尋，長度 360 且首尾只差一位的連續段有 4 個，起點為 76、204、332、460，後三個都跨過 511 → 0 的接縫，解碼要多一次取模。對稱段的二進位制值連續，解碼只需一次減法，最方便。

奇數位置數為什麼做不到

把 n 位碼看成 n 維立方體的頂點，“只變一位”就是沿一條稜走一步，每走一步碼字中 1 的個數的奇偶性翻轉一次。走一圈回到起點，奇偶性必須復原，所以步數，也就是位置數 M，必須是偶數。這個結論與構造方法無關，任何每步只變一位的迴圈碼都做不到奇數個位置。

需要奇數個位置（例如 125）時有兩種出路：一是做 2M 個位置的迴圈碼，輸出時除以 2，125 位置用 8 位碼的 250 段，s = 3；二是允許接縫處一次變兩位，靠與增量道同步來保證讀數，這要額外分析接縫處的讀數容差。

360 與 1000 位置的引數

360 位置的解碼錶（節選）：

碼道圖形見圖2。擷取後每道的跳變數相應減少：360 位置時 b0 為 180 次，b1 為 90 次，b8 仍是半圈明、半圈暗。

版圖要注意的兩處

**接縫處的非常規條寬。**擷取後，每道跨接縫的那一段由段首和段尾兩截拼成，寬度不再是該道的常規值。360 位置時 b4 的常規條寬為 32 個位置，跨接縫的透光段只有 8 個位置；b6、b7 也出現 232、104 個位置的非常規段。最細線寬仍由 b0 的 2 個碼元決定，不影響可製造性，但版圖核對和 AOI 規則不能按“每道條寬固定”來寫，要按整圈逐位置比對碼錶。

**無效碼的檢錯能力有限。**被截掉的碼不會在正常讀數中出現，讀到即可報錯。但單個位讀錯時，360 位置只有約 9.9% 的情況會落進無效碼，1000 位置只有約 1.4%；最高位讀錯則正好變成映象碼，永遠是合法碼，檢不出來。需要讀碼診斷時仍要另加校驗手段。

工程要點

• 擷取公式：n = ⌈log₂M⌉，s = (2ⁿ − M)/2，保留 i = s…2ⁿ − 1 − s；360 位置 s = 76，1000 位置 s = 12。
• 解碼只需格雷轉二進位制後減 s；二進位制值落在 s…2ⁿ − 1 − s 之外即判為讀碼錯誤。
• 不要直接取前 M 個碼：360 位置時首尾相差 5 位，接縫處可能讀出遠離真實位置的碼。
• 奇數位置數沒有單步迴圈碼，需改做 2M 位置再除以 2，或在接縫處與增量道同步。
• 版圖按整圈碼錶逐位置核對，不按“每道固定條寬”檢查：360 位置的 b4 在接縫處有一段只有 8 個位置寬。
• 截掉的碼只能兜住約 10% 以下的單個位錯誤，且最高位錯誤永遠檢不出，診斷要另加措施。

小結

反射格雷碼關於中點對稱的兩個碼只差最高位，擷取中間的對稱段就能得到任意偶數個位置的迴圈格雷碼，解碼只多一次減法。奇數個位置受奇偶性限制無法實現單步迴圈。360、1000 位置分別需要 9、10 條碼道，版圖上要特別核對接縫處的非常規條寬。

延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫

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