旋轉碼盤上的距離編碼參考標記：最小轉角與間距推導

碼盤上的距離編碼要求 K 個標記的間距兩兩相差至少 Δ，且總和正好一圈。本文推導閉合條件、標記數上限和最大回零轉角，說明交錯排列可把回零轉角降到約 2N/K + Δ，並給出 2048 線 32 個標記、最大回零 23.0° 的算例。

增量碼盤只有一個零位標記時，上電後最壞要轉一整圈才能找到零位。距離編碼參考標記在直線光柵上已很成熟（原理和直線設計見本文庫距離編碼的幾篇），把它移植到碼盤上，可以讓馬達只轉十幾到二十幾度就知道絕對角度。碼盤與直線碼帶最大的不同是沒有兩端：所有間距加起來必須正好是一整圈，最後一個標記要和第一個首尾相接。本文推導這個閉合條件下的間距、標記數和最大回零轉角。

編碼規則與閉合條件

以增量道的訊號週期為單位，一圈共 N 個週期（2048 線碼盤 N = 2048）。在圓周上放 K 個參考標記，相鄰標記的間距為 g_1 … g_K，要求：

• 所有間距兩兩不同，且任意兩個間距至少相差 Δ 個週期，這樣計數誤差小於 Δ/2 時仍能識別（Δ 的取法見本文庫距離編碼容錯一文，Δ = 3 可糾正 ±1 個週期）；
• 最小間距不小於 g_min，保證讀數窗內不會同時出現兩個標記；
• 閉合：Σ g_i = N。

最簡單的取法是等差：g_i = D + (i − 1)·Δ。閉合條件為

K·D + Δ·K(K − 1)/2 + R = N

其中 R 是餘數（0 ≤ R < K）。R 不為零時，給最大的 R 個間距各加 1 個週期即可：它們之間仍相差 Δ，與較小的那組之間相差 Δ + 1，區分能力不減。由 D ≥ g_min 得到標記數上限：K 取滿足 ⌊(N − Δ·K(K − 1)/2)/K⌋ ≥ g_min 的最大值。

轉過任意兩個相鄰標記，測得的間距就能確定是第幾段，從而知道剛過的標記的絕對角度。正轉時剛過的是該段的終點標記，反轉時是起點標記，所以解碼還要用到 A/B 的方向。偏心對間距計數的影響只來自參考道與增量道的半徑差：偏心 20 μm、兩道半徑 15 mm 與 14.2 mm 時，差分幅值只有約 0.02 個週期，可以忽略。

最大回零轉角：排列順序很關鍵

從任意位置出發，要看到兩個標記，最壞情況是剛錯過一個標記，於是要走完兩段相鄰間距。最大回零轉角為

T_max = max(g_i + g_(i+1))

間距按遞增順序排列時，最大的兩段相鄰，T_max ≈ 2N/K + (K − 2)·Δ。它隨 K 先減後增，在 K = √(2N/Δ) 附近最小。

把間距按“最小、最大、次小、次大……”交錯排列，相鄰兩段之和幾乎相等，T_max ≈ 2N/K + Δ。所有相鄰和的平均值正好是 2N/K，所以這已經貼近下限，而且 K 越大越好，只受 g_min 限制。交錯排列中 g_i + g_(K+1−i) 為常數，每隔一個標記就正好均布，這和直線距離編碼的“固定標記 + 可變標記”是同一種結構；圓周上它自動滿足閉合條件。

2048 線算例

示例引數：r = 15 mm 時訊號週期約 46.0 μm；g_min 取 16 個週期（約 0.74 mm，包含參考標記圖形長度、讀數窗和餘量，屬假設值）；Δ = 3。

1. 標記數上限：K = 32 時 D = ⌊(2048 − 1488)/32⌋ = 17 ≥ 16，K = 33 時 D 小於 16，故 K = 32。
2. 餘數 R = 2048 − 32 × 17 − 1488 = 16，最大的 16 段各加 1。間距為 17、20 … 62（16 段）和 66、69 … 111（16 段），總和 2048。
3. 交錯排列：17、111、20、108、23、105 ……、62、66。每隔一個標記間隔 128 個週期（22.5°）。
4. 最大回零：遞增排列為 108 + 111 = 219 個週期（38.5°），交錯排列為 111 + 20 = 131 個週期（23.0°）。起點均勻分佈時的平均回零轉角分別約 19.7° 和 15.9°，單個零位標記則是最大 360°、平均 180°。

改變 Δ 的結果（g_min = 16 週期）：

版圖與解碼要點

參考標記的中心要落在整數個訊號週期上，並與增量道刻線同版對齊，這樣參考脈衝門控到增量訊號的一個象限後，間距計數是整數。若用四倍頻計數，間距和 Δ 都乘 4。解碼錶只有 K 項：間距值 → 段號 → 起點和終點標記的角度；測得的間距與最近表值相差超過 Δ/2 時應報錯，並可再轉過第三個標記複核。

工程要點

• 閉合條件 K·D + Δ·K(K − 1)/2 + R = N，餘數 R 加給最大的 R 段間距，不影響識別。
• 標記數由最小間距決定：g_min 包含標記圖形和讀數窗，2048 線、g_min = 16 週期、Δ = 3 時 K = 32。
• 一定用交錯排列：最大回零從 2N/K + (K − 2)Δ 降到約 2N/K + Δ，示例中從 38.5° 降到 23.0°。
• 交錯排列等價於固定標記均布、可變標記插在中間，示例中固定標記間隔 128 個週期。
• Δ 取 3 可糾正 ±1 個週期的計數誤差，代價是回零轉角從 14.6° 增加到 23.0°。
• 解碼要用 A/B 方向區分剛過的是段起點還是終點，標記中心與增量刻線同版對齊。

小結

旋轉碼盤上的距離編碼要滿足三條：間距兩兩相差至少 Δ、最小間距不小於 g_min、總和正好一圈。最小間距決定標記數，標記數和排列順序決定最大回零轉角；交錯排列使相鄰兩段之和接近平均值 2N/K，已貼近圓周佈置的下限。2048 線碼盤用 32 個標記，最大回零約 23°，比單個零位標記少一個數量級以上。

延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫

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