退火不充分的玻璃：殘餘應力、雙折射與光彈法測量

冷卻過快會把板內溫度差凍結成殘餘應力。本文用粘彈性模型和凍結估算算出應力與冷速、板厚的關係，說明偏光測量必須從板邊看才能看到厚度方向應力，並估算切割後圓盤的 2 次角度誤差、小片翹曲與開裂風險。

來料規格寫著“內應力 ≤ 10 nm/cm”，切成碼盤毛坯後卻發現尺寸漂了幾個 ppm，或者小片放在平臺上不平。這類問題的根源在玻璃出廠前的冷卻：板內有溫度差時玻璃已經變硬，溫度差就留在了結構裡。這裡先算應力是怎麼凍結下來的，再說偏光測量為什麼常常看不到它，最後估算切割時它會釋放多少。

殘餘應力從哪來：被凍結的溫度差

厚度 2a 的平板以恆速 h 冷卻，板內形成拋物線溫度剖面，中心比表面熱

ΔT = h·a² / (2κ)

其中 κ 為熱擴散率，鈉鈣玻璃取約 5×10⁻⁷ m²/s（示例）。在退火點以上，玻璃的鬆弛時間只有數十秒以內（見本文庫另一篇粘度曲線），溫度差引起的應力隨即被粘性流動抹掉；玻璃透過轉變區變硬時，這個溫度差就凍結了。之後溫度趨於均勻，中心比表面多收縮 ΔT 對應的量，表面被拉成壓應力：

σ_表面 = −(2/3)·E·α·ΔT/(1−ν)，σ_中心 = +(1/3)·E·α·ΔT/(1−ν)

取 E = 70 GPa，α = 9×10⁻⁶/K，ν = 0.22，E·α/(1−ν) ≈ 0.81 MPa/K。我用逐層 Maxwell 模型（τ = η/G，η 取鈉鈣的 VFT 擬合）對圖1的算例積分，得到表面 −1.12 MPa、中心 +0.56 MPa，與上式一致。

應力正比於冷速、正比於板厚的平方。按鈉鈣玻璃的應力光學系數 C ≈ 27 nm/cm/MPa（10 nm/cm 約合 0.37 MPa）換算，表面處的邊緣觀察讀數（nm/cm）如下：

要把讀數壓到 10 nm/cm（表面約 0.37 MPa，對應凍結溫差 ΔT ≤ 0.69 K），允許冷速 h ≤ 2κΔT/a²：2 mm 厚約 41 K/min，10 mm 厚約 1.6 K/min，20 mm 厚約 0.41 K/min。厚板必須慢冷，因為冷速允許值按厚度平方下降。退火還要在退火點附近保溫，使溫度均勻並鬆弛舊應力：保溫時間應大於厚度方向的擴散時間 a²/κ（a = 5 mm 時約 50 s）。真正需要慢冷的只是轉變區附近；應變點以下可以加快，只受暫時熱應力的限制，它在整板均溫後會消失。

光彈測量：沿哪個方向看

光彈關係為 σ₁ − σ₂ = Δ/(C·t)，Δ 為光程差（詳見本文庫另一篇材料條款）。關鍵是它只響應垂直於光路的兩個主應力之差。平板厚度方向的殘餘應力滿足 σ_x = σ_y = σ(z)，σ_z = 0。光垂直板面入射時看到的是 σ_x − σ_y = 0，讀數為零，什麼也看不到。從板邊沿板面方向看，看到的是 σ_y − σ_z = σ(z)，光程差為 Δ(z) = C·σ(z)·L，L 為光程。10 mm 板以 5 K/min 冷卻，表面約 30 nm/cm，100 mm 寬的光程上就是約 300 nm，而垂直入射讀數為零。垂直入射看到的只是面內的分佈不均（板邊與中心降溫不同產生的 σ_r ≠ σ_θ）。

定量用 Sénarmont 法：偏振片、試樣（主軸與偏振方向成 45°）、λ/4 波片、檢偏器，旋轉檢偏器消光，光程差

Δ = λ·θ / 180°（θ 為檢偏器轉角，單位度）

λ = 545 nm 時每度約 3.0 nm。10 nm/cm 的鈉鈣玻璃，2 mm 厚垂直入射只有 2 nm，轉角 0.66°；10 mm 厚為 3.3°；從板邊看 100 mm 光程則是 33°。如果讀角分辨 0.1°（約 0.3 nm），2 mm 厚片的分辨力只有約 1.5 nm/cm，薄片要靠自動偏光儀。光學玻璃廠的資料一般把精密退火規定為 ≤ 10 nm/cm，特殊退火可到 6 或 4 nm/cm；ISO 10110-2 對偏振儀器類光學件的要求可低於 2 nm/cm。

切割之後會怎樣

圓盤橢圓化。 面內兩個主應力差 σ₁ − σ₂ 釋放後，兩個方向的應變差為 (1+ν)(σ₁ − σ₂)/E，圓盤變橢圓，產生 2 次諧波角度誤差，幅值約為應變差的一半：

Δθ₂ ≈ (1+ν)(σ₁ − σ₂) / (2E)

10 nm/cm（0.37 MPa）對應應變差約 6.5 ppm，Δθ₂ ≈ 3.2 μrad ≈ 0.67″；100 nm/cm 時約 6.7″。這是全部釋放的上限。等雙軸部分只改變半徑比例，不改變角度，r = 20 mm 時每 MPa 約 0.22 μm。

小片翹曲。 沿厚度不對稱的線性應力分量（表面值 s）會使板產生曲率 κ = 2s(1−ν)/(E·t)。自由板本身已經帶有這個曲率；被真空吸平、粘平或單面磨拋去層後切下的小片，會恢復或改變它。厚 1.1 mm、s = 0.37 MPa 時 R ≈ 133 m，20 mm 小片矢高 δ = κL²/8 ≈ 0.37 μm，50 mm 時約 2.3 μm；s = 3.7 MPa（約 100 nm/cm）則分別是 3.7 μm 與 23 μm（圖3）。

開裂。 對 50 μm 的邊緣缺陷，K ≈ 1.12σ√(πa)，每 MPa 約 0.014 MPa·√m，要達到 0.75 MPa·√m 的斷裂韌性約需 53 MPa 拉應力。幾十至幾百 nm/cm 的退火不足不會自行開裂，真正危險的是幾十 MPa 的急冷應力，那種玻璃切割時可能延伸開裂。

工程要點

• 來料規格寫明測量方向與位置：垂直板面讀數只反映面內應力差，厚度方向的殘餘應力要從板邊測。
• 厚板的冷速允許值與厚度平方成反比，10 mm 板按 ≤ 10 nm/cm 約 1.6 K/min，不要把薄板的退火曲線用於厚板。
• 薄片垂直入射的光程差只有幾 nm，用自動偏光儀，分辨力要達到 0.1 nm 量級。
• 先切後鍍與先鍍後切的次序要結合 2 次誤差估算：100 nm/cm 的片子切圓盤，2 次角度誤差可達幾角秒。
• 單面磨拋、單面鍍膜會打破應力對稱，要預估曲率，必要時兩面對稱加工。
• 懷疑應力過大的批次先做邊緣觀察和一次試切，看尺寸與平面度是否變化，再決定是否重新退火。

小結

殘餘應力是冷卻時被凍結的溫度差：表面壓、中心拉，大小正比於冷速和板厚的平方，10 mm 鈉鈣板要降到 10 nm/cm 約需 1.6 K/min。厚度方向的應力垂直入射看不到，必須從板邊看。切割時面內應力差釋放成 2 次角度誤差，非對稱分量使小片翹曲，量級可以用本文公式估算。

延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫

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