玻璃與基材科學
晶體基材的各向異性膨脹：面內膨脹不等如何產生 2 次角度誤差
單晶基材沿不同晶軸的線膨脹係數不同，晶片面內膨脹不等時放射狀刻線會按 2 倍角偏轉。本文推導誤差幅值 Δα·sin²ν·ΔT/2，算出藍寶石 A 面約 5″、石英 X/Y 切約 31″（ΔT = 50 K，示例引數），並給出取向、讀數頭佈置與溫度補償對策。
非晶玻璃的熱膨脹各向同性，升溫只會讓碼盤整體放大一點，放射狀刻線的角度位置不變。換成單晶基材（藍寶石、晶體石英）情況就不同了：晶體的線膨脹係數隨方向變化，一片面內兩個方向膨脹不等的晶片，升溫後圓會變成橢圓，放射線隨之偏轉。這個誤差每轉出現兩次，與讀數半徑無關，對徑雙讀數頭也消不掉。本文把它從熱膨脹張量一直算到角秒，並回答兩個工程問題：哪些切向安全，剩下的該怎麼壓。
模型：從膨脹張量到 2 倍角誤差
對三方、六方、四方晶系（藍寶石、α-石英都屬這一類），線膨脹係數只有兩個獨立值：沿光軸（c 軸）的 α∥ 和垂直於 c 軸的 α⊥。任意方向與 c 軸夾角為 χ 時：
α(χ) = α⊥ + (α∥ − α⊥)·cos²χ = α⊥ + Δα·cos²χ
其中 Δα = α∥ − α⊥。晶片法線與 c 軸夾角為 ν 時，面內有兩個主軸：一個沿 c 軸在面內的投影（它與 c 軸夾角為 90° − ν），膨脹係數 α⊥ + Δα·sin²ν；另一個垂直於 c 軸，膨脹係數就是 α⊥。面內兩主軸的差值為
Δα_eff = Δα·sin²ν
C 面（ν = 0）為 0，A 面（ν = 90°）為 Δα，R 面（法線與 c 軸約 57.6°）為 0.713·Δα。立方晶系的矽沒有這個問題：它的熱膨脹張量是各向同性的（彈性模量各向異性，是另一回事）。
設刻線在 T₀ 時按理想放射狀寫成，升溫 ΔT 後兩主軸應變為 ε_x = α_x·ΔT、ε_y = α_y·ΔT。晶軸座標中角位置 φ 的點 (r·cosφ, r·sinφ) 移到 (r(1+ε_x)cosφ, r(1+ε_y)sinφ)，角度偏移為
tan(φ + δ) = (1+ε_y)/(1+ε_x)·tanφ，δ ≈ (ε_y − ε_x)/2 · sin2φ
誤差幅值
A₂ = Δα_eff·ΔT / 2
其中 φ 從 x 軸量起。這個結果有三個特點：與半徑 r 無關；均勻膨脹的各向同性部分完全不出現；φ = 45° 方向偏轉最大。讀數頭固定、盤轉一週，φ 掃過 360°，誤差就出現兩個週期（見圖1右）。同樣的形式也出現在拉伸塑膠薄膜碼盤上（詳見本文庫另一篇），只是晶體的各向異性來自晶格，隨批次幾乎不變。
數值算例：50 K 溫差
取 ΔT = 50 K（相對刻線寫成時的溫度）。文獻裡藍寶石的 Δα 大小約 1 ppm/K 量級，但各來源的具體數值、符號甚至隨溫度的變化都不一致，下表取 0.5、1.0、1.6 ppm/K 三檔作示例；α-石英 α∥ 約 7.1–7.5、α⊥ 約 13.2–13.7 ppm/K，Δα 約 6 ppm/K（符號與藍寶石無關，隻影響相位）。
| 基材與切向 | Δα_eff（ppm/K） | Δε = Δα_eff·ΔT | 2 次誤差幅值 |
|---|---|---|---|
| 藍寶石 C 面 | 0 | 0 | 0 |
| 藍寶石 R 面（Δα = 1.0） | 0.71 | 36 ppm | 約 3.7″ |
| 藍寶石 A 面（Δα = 0.5 / 1.0 / 1.6） | 0.5 / 1.0 / 1.6 | 25 / 50 / 80 ppm | 約 2.6″ / 5.2″ / 8.3″ |
| 石英 Z 切 | 0 | 0 | 0 |
| 石英 X 或 Y 切（Δα ≈ 6） | 6 | 300 ppm | 約 31″ |
以 A 面、Δα = 1.0 ppm/K 為例：Δε = 1.0×10⁻⁶ × 50 = 50 ppm，A₂ = 25×10⁻⁶ rad × 206265 ≈ 5.2″。用精確式 arctan 直接數值計算得 5.157″，小量近似的誤差不到萬分之三。對 2048 線碼盤，一個訊號週期約 632.8″，5.2″ 相當於週期的 0.8%；石英 X/Y 切的 31″ 則接近週期的 5%，在需要高倍細分的場合不能忽略。反過來，要把 2 次誤差限制在 1″ 內，允許的溫度偏離為
ΔT_max = 2·e_max / Δα_eff
e_max = 1″ = 4.85 μrad 時，A 面藍寶石（Δα = 1.0）約 9.7 K，R 面約 13.6 K，石英 X/Y 切只有約 1.6 K。
對策：取向、讀數頭與溫度補償
1. 優先選 C 面（藍寶石）或 Z 切（石英）。 光軸垂直於盤面時，面內各向同性，2 次項為零。切向有偏差時，面內差值 Δα·sin²γ 以平方方式減小：γ = 1° 時僅為 Δα 的 3×10⁻⁴；藍寶石 Δα = 1.0 ppm/K、ΔT = 50 K 下，γ = 5° 的誤差也只有約 0.04″，Z 切石英同樣 γ = 5° 約 0.24″（圖3左）。所以 C 面的切向公差可以放寬到度的量級，沒必要為此加價。
2. 讀數頭佈置按諧波選。 把 N 個讀數頭的訊號取平均，k 次諧波的殘留比例為 |Σe^(ikφ_j)|/N。對徑兩頭（180°）抵消 1 次（偏心），但 2 次諧波完全保留；相隔 90° 的兩頭恰好抵消 2 次，而 1 次諧波還剩 0.707；四頭均布兩者都抵消（圖3右）。若必須用 A 面或 R 面，要麼用 90° 或四頭佈置，要麼在溫度範圍內接受上表的幅值。
3. 溫度補償。 A₂ = Δα_eff·(T − T₀)/2 與晶軸方向繫結：相位由晶軸相對讀數頭的位置決定，幅值正比於相對寫入溫度的溫差。出廠標定記下晶軸方向，使用時再測溫度，兩個引數就能算出補償量。注意冷卻時幅值反號。
4. 其他差異。 A、R 面基片對光有雙折射（藍寶石 Δn 約 0.008，1 mm 厚在 850 nm 附近延遲約 9 個波長量級），對偏振敏感的讀數方式要核對；C 面沿 c 軸通光，正入射時不產生雙折射。
工程要點
- 面內各向異性誤差 A₂ = Δα·sin²ν·ΔT/2，與讀數半徑無關；用 ΔT_max = 2·e_max/Δα_eff 倒推允許的溫度偏離。
- 藍寶石優先選 C 面，切偏 5° 以內 Δα_eff 縮小兩個數量級以上；A、R 面只在有明確理由時使用。
- 石英選 Z 切；X/Y 切 Δα 約 6 ppm/K，50 K 下誤差約 31″，不適合高細分場景。
- 單讀數頭與對徑雙頭都不能抑制 2 次諧波；需要時用 90° 或四頭均布。
- 藍寶石 Δα 的數值和符號因文獻而異，選型前向供應商要實測的膨脹資料，或用熱迴圈測 2 次諧波自行標定。
- 熱迴圈驗證時對整圈誤差做傅立葉分解，單獨看 2 次分量隨溫度的變化，與偏心引起的 1 次分量區分開。
小結
單晶基材的熱膨脹由二階張量描述，只要晶片面內兩個主軸的膨脹係數不同，升溫就產生每轉兩次、與半徑無關的角度誤差，幅值為 Δα_eff·ΔT/2。藍寶石 C 面和石英 Z 切面內各向同性，是合適的選擇；A 面、R 面或石英 X/Y 切則要靠讀數頭佈置、溫度控制和補償來管理。
延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫
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