比剛度與基材選擇：同尺寸碼盤在不同材料下的撓度與固有頻率

同尺寸碼盤的一階頻率正比於 √(E/ρ)，自重撓度滿足 w ≈ 1.2g/(2πf₁)²，與材料無關。本文用環形板精確解算六種基材（示例 Ø200 mm、2 mm）的 f₁ 與下垂量，比較同頻率下的厚度與質量，給出大直徑碼盤的選材依據。

碼盤做大、做薄之後，盤面會不會塌、會不會晃，就和刻線精度一樣要緊：反射式和小間隙讀數頭對盤面軸向位置敏感，自重下垂與振動都會變成讀數間隙的變化。常見的建議是“換個剛度高的材料”，可玻璃、藍寶石、矽的彈性模量相差數倍，密度也不同，到底該看哪個量？本文用環形板模型把撓度和固有頻率算清楚，結論只有一個量起作用：比剛度 E/ρ，而且撓度和頻率其實是同一件事的兩種說法。

模型：兩個公式與一個等式

碼盤夾在輪轂上，按內緣（夾持半徑 a）固支、外緣（半徑 R）自由的環形薄板計，厚度 t。彎曲剛度

D = E·t³ / [12(1 − ν²)]

一階固有頻率為

f₁ = λ² / (2πR²) · √(D / ρt) = λ² / (2πR²·√(12(1 − ν²))) · t · √(E/ρ)

其中 λ² 是由貝塞爾函式精確解求得的頻率係數，ν = 0.2、a/R = 0.2 時為 4.80，a/R = 0.25 時為 5.59。最低階是含 1 個節徑的搖擺型，比軸對稱的傘形低 2%–6%。盤面水平、只受自重 ρg·t 時，外緣下垂量為

w = α·ρg·t·R⁴ / D = 12α(1 − ν²)·g·R⁴·ρ / (E·t²)

α 只取決於幾何：a/R = 0.2 時約 0.054，0.25 時約 0.043。兩式比較可見：f₁ ∝ (t/R²)·√(E/ρ)，w ∝ (R⁴/t²)·ρ/E，材料只透過 E/ρ（和接近 1 的 1 − ν² 修正）進入。再把兩式合併：

w ≈ κ·g / (2π·f₁)²，κ ≈ 1.2–1.4

κ 由幾何決定，與材料無關。也就是說自重撓度就是“重力加速度除以角頻率平方”：一階頻率 240 Hz 的盤下垂約 5.4 μm，100 Hz 約 31 μm。所以不必把撓度和頻率當成兩個指標，知道 f₁ 就知道自重下垂（圖3左，所有點落在同一條線上）。

數值算例：Ø200 mm、厚 2 mm

假設外徑 200 mm，夾持半徑 20 mm，厚 2 mm，盤面水平。材料取典型值（藍寶石取 a 向量級、各向異性約 ±10%，單晶矽取 130–169 GPa 的中間值，無鹼玻璃為量級）：

四種玻璃的 E/ρ 只差 20% 左右，f₁ 相差約 7%，從鈉鈣換到熔融石英幾乎得不到剛度。藍寶石和矽的 E/ρ 是玻璃的 2–3 倍，f₁ 升高 1.5–1.8 倍，下垂降到約 0.3–0.4 倍。

尺度律更重要：外徑加倍，f₁ 降為 1/4，下垂變成 16 倍；厚度加倍，f₁ 加倍，下垂降為 1/4。同樣的硼矽玻璃盤，Ø200 mm、1 mm 厚只有約 120 Hz，下垂約 22 μm；換成 Ø80 mm、1 mm 厚（夾持半徑 10 mm），f₁ 約 870 Hz，下垂只有 0.44 μm，小盤根本不用擔心。

同頻率設計：藍寶石變薄，但沒有變輕

把要求改成 f₁ ≥ 500 Hz，反解厚度：

t_min = 2πR²·f₁ / λ² · √(12(1 − ν²)ρ / E)

Ø200 mm 時，硼矽、鈉鈣約 4.2 mm，熔融石英約 3.9 mm，矽約 2.7 mm，藍寶石約 2.3 mm（圖2）。質量 ∝ ρ·t ∝ ρ^1.5/√E，相對硼矽玻璃：藍寶石約 1.00，熔融石英 0.92，矽 0.68，鈉鈣 1.12。藍寶石更薄，但密度大，同頻率下並不更輕，轉動慣量也不會改善；矽輕約三成，卻在 850–950 nm 近紅外幾乎不透明，只能用於反射式或開縫式圖形（詳見本文庫另一篇）。

比剛度之外：夾持半徑與轉速

夾持半徑。 a/R 從 0.2 增到 0.4，λ² 由 4.80 升到 9.07，f₁ 幾乎翻倍，α 由 0.054 降到 0.018，下垂約為原來的三分之一。加大輪轂粘接環半徑比加厚盤子或換材料更便宜，前提是讀數道不被輪轂擋住。

轉速。 離心應力正比於 ρω²R²，與 E 無關。按自由內孔近似，硼矽玻璃 Ø200 mm 在 6000 r/min 時孔邊環嚮應力約 7 MPa，20000 r/min 約 79 MPa（不含裝配和粘接應力）。所以中低速時限制選材的是剛度和振動，高速時才輪到比強度與邊緣缺陷。另外轉頻及其低次諧波要和 f₁ 拉開，旋轉還會使節徑模態在靜止座標系中分裂，要用旋轉盤模型另行核算。

工程要點

• 先算 f₁，再用 w ≈ 1.2g/(2πf₁)² 估自重下垂；盤面水平且間隙容差在幾十微米以內時才需要核算。
• 玻璃之間不要為剛度換材料：E/ρ 只差 20% 左右，要提高 f₁ 靠加厚（f₁ ∝ t）、縮小外徑（∝ 1/R²）或加大夾持半徑。
• 大而薄的玻璃盤要實際計算 f₁：同為硼矽，Ø150 mm、3 mm 厚約 640 Hz，Ø200 mm、2 mm 厚只有約 240 Hz。
• 同頻率比較要看質量與慣量，不能只看厚度：藍寶石變薄不減重。
• 藍寶石和矽的 E 隨晶向變化，表中數字只是量級，定型前向供應商要晶向與實測模量。
• 實際 f₁ 取決於粘接環剛度，比理想固支低；樣件上用敲擊或雷射測振驗證。

小結

同尺寸碼盤的一階頻率與 √(E/ρ) 成正比，自重撓度與 ρ/E 成正比，而且 w ≈ κg/(2πf₁)² 把兩者連成一件事。玻璃之間的比剛度差別很小，選材不會帶來實質變化；藍寶石和矽可以把 f₁ 提高約 1.5–1.8 倍，但藍寶石並不減重，矽又受限於近紅外不透明。大直徑碼盤的剛度主要靠厚度、外徑和夾持半徑來取得。

延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫

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