玻璃表面粗糙度與散射：幾奈米 Ra 對透射訊號的影響

透射面的總積分散射 TIS ≈ (2π(n−1)σ/λ)²：850 nm 下 σ = 0.5、2、10 nm 時單面僅 0.00036%、0.0057%、0.14%。本文給出角分佈模型，比較相位光柵、鍍膜與反射介面的敏感度，並按散射預算反推拋光等級。

玻璃基片的拋光要求常寫成“Ra ≤ 幾奈米”，價格隨等級陡升。可是碼盤讀數光的波長是 850 nm，一個幾奈米的表面起伏，究竟讓透射訊號少了多少光？這些光又散到哪裡去了？本文用相位屏模型算出散射損失和角分佈，再看哪些製程環節才真正需要超光滑表面，最後給出一個按散射預算反推粗糙度的做法。

模型：表面起伏變成相位起伏

光從玻璃（折射率 n）射向空氣，表面高度每相差 h，透射光的光程就差 (n−1)·h。相位起伏的方差為

g = [2π(n − 1)σ / λ]²

其中 σ 為表面均方根粗糙度，λ 為波長。鏡面方向的透射光按相干疊加衰減為 exp(−g)，其餘部分被散射，總積分散射為

TIS = 1 − exp(−g) ≈ g（g ≪ 1）

對反射介面，例如從玻璃內側照到金屬膜上，光程差是 2nh，對應 TIS ≈ (4πnσ/λ)²。相位係數是透射面的 2n/(n−1) ≈ 6 倍，TIS 約為 35 倍，所以反射型表面對粗糙度敏感得多。

散射光的角分佈由相關長度 ℓ 決定。高斯相關時，g ≪ 1 的漫散射近似為 exp[−(πℓ·sinθ/λ)²]：ℓ = 1.5 μm、λ = 0.85 μm 時 1/e 半寬約 10°，形狀與 σ 無關，σ 只改變整體高低。要到 g 接近 1（σ 約 100–300 nm 的研磨面）才會明顯變寬，同時鏡面部分迅速消失（圖1右半段）。這裡的 σ 是空間波長大於 λ 的頻帶內的粗糙度，AFM 小視場掃描與光學輪廓儀測的 σ 不能直接互換。

數值算例：0.5、2、10 nm

λ = 850 nm、n = 1.51，σ 與散射的對應如下（Ra 按高斯表面取 0.8σ）：

TIS 與 σ² 成正比，σ 每增大 3 倍，散射增大近 10 倍；與 λ² 成反比，用 633 nm 光看霧度比 850 nm 下實際的散射強約 1.8 倍（圖3右）。10 nm 以內對透射訊號的影響遠小於玻璃的菲涅耳反射（兩個表面約 8%）；散射光又集中在約 ±10° 以內（本例相關長度），讀數頭接收角若更大，實際損失還會更小。

哪些環節對粗糙度敏感

振幅型透射讀數。 刻線/空白的遮光靠鉻膜，粗糙度只造成百分之一以下的整體衰減，亮暗兩態按同一比例變化，調製度不變。幾奈米與零點幾奈米在訊號上沒有區別。

相位光柵。 π 相位深度 d = λ/(2(n−1)) ≈ 833 nm，σ = 10 nm 時由粗糙度引起的相位誤差 2π(n−1)σ/λ ≈ 0.038 rad，零級增加量約 g/4 ≈ 3.6×10⁻⁴，可以忽略；但 0.14% 的散射背景直接疊加在零級和雜散光裡。如果把零級和雜散光合計預算定為 1%（示例），它就佔掉了一成多。

鍍膜面與反射介面。 鉻膜厚約 100 nm，σ = 10 nm 的起伏已達膜厚的十分之一，區域性膜厚與 OD 會隨之漲落。從玻璃內側照金屬膜的結構，10 nm 就有約 5% 的光被散射；按 1% 預算只允許 σ 約 4.5 nm，按 0.1% 預算約 1.4 nm。

接觸曝光。 σ = 10 nm 對應的峰谷約 50 nm，接觸間隙引起的衍射模糊約 √(λ_曝光·g) ≈ 0.14 μm（λ_曝光取 365 nm，g = 50 nm），遠小於碼盤的線寬。限制曝光質量的是平面度和顆粒，不是 nm 級的粗糙度。

不能用 rms 描述的缺陷。 劃痕、麻點和亞表面裂紋是區域性缺陷，σ 小也可能很多。它們才是針孔、斷線和鍍膜脫落的來源，拋光等級還要同時寫表面疵病等級。

按散射預算反推 σ

給定允許的散射預算 B，兩個表面相同時

σ_max = λ / [2π(n − 1)] · √[−ln(1 − B) / 2]

B = 0.1% 時 σ_max ≈ 5.9 nm（Ra 約 4.7 nm），B = 1% 時約 18.8 nm（Ra 約 15 nm）；只有一個表面粗糙時分別為 8.4 nm 和 26.6 nm（圖3左）。

工程要點

• 振幅型透射碼盤的光路面，σ ≤ 20 nm（Ra 約 15 nm，兩面 TIS 約 1%）已夠用，追求 Ra < 1 nm 對訊號沒有收益。
• 做相位光柵、干涉式讀數或高精度鍍膜的面，取 σ ≤ 2–5 nm，並同步限定劃痕與麻點等級。
• 反射結構（玻璃內側照金屬膜）允許的 σ 只有透射面的約六分之一，要單獨核算。
• 外圓、內孔、非光路面可以研磨，沒必要拋光；浮法玻璃的原始表面一般已是亞奈米至 1 nm 量級。
• 粗糙度驗收註明測量方法、視場和濾波頻寬；用 633 nm 可見光目視霧度會高估 850 nm 下的散射。
• 研磨面（Ra 0.1 μm 以上）用在光路上單面就要散掉一成以上的光，必須拋光後再用。

小結

透射面的散射損失與 σ² 成正比、與 λ² 成反比：850 nm 下 10 nm 以內的粗糙度只讓單面損失 0.14% 以內，對振幅型碼盤訊號可以忽略。真正需要超光滑表面的是相位光柵、反射介面和高精度鍍膜，同時要控制劃痕麻點這類區域性缺陷。拋光等級應按散射預算和製程環節分別提出，而不是一律追求最高等級。

延伸閱讀：ENC7 編碼器碼盤生產廠家（中文首頁） · 碼盤技術文庫

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